補数の定義

■補数とは

コンピュータ内での四則演算は，全て加算処理で計算される．

補数を使えば減算を加算で行うことができる．

補数とは， $3$\displaystyle{n}$ 進数の数に加算すると1桁上がる数の最小値，もしくは桁上がりしない最大値となる数のことである．

$3$\displaystyle{n}$ 進数では前者を $3$\displaystyle{n}$ の補数，後者を $3$\displaystyle{ n- 1 }$ の補数という．

例えば，2進数8桁10011010についての補数は

1の補数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{ $ 01100101 $ }_{2}}$

2の補数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{ $ 01100110 $ }_{2}}$

である．

■1の補数について

1の補数は，2進法である数 $3$n$ に加算すると桁上がりしない最大値となる数のことである．

$3$n$ + ( $3$n$ の1の補数 ) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ =$111\cdot \cdot \cdot \cdot 1$ }_{2} }$ ← ( $3$n$ の桁数 ) 桁

( $3$n$ の1の補数 ) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ =$111\cdot \cdot \cdot \cdot 1$ }_{2}- }$ n

式より，全て1である $3$n$ と同じ桁数の数から $3$n$ を引くと( $3$n$ の1の補数)が求まる．

また実際に上記の計算をすると，( n の1の補数)は $3$n$ の1と0を反転したものであることがわかる．

■2の補数について

2の補数は，2進法である数 $3$n$ に加算すると $3$n$ の桁数 $3$\displaystyle{ +1 }$ の桁で，最小値となる数のことである．

$3$n$ + ( $3$n$ の2の補数 ) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ =$100\cdot \cdot \cdot \cdot 0$ }_{2} }$ ← ( $3$n$ の桁数 + 1 ) 桁

( $3$n$ の2の補数 ) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ =$100\cdot \cdot \cdot \cdot 0$ }_{2}- n}$

( $3$n$ の2の補数 ) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ =$111\cdot \cdot \cdot \cdot 1$ }_{2}- n+\hspace{1}{ $1$ }_{2} }$

式より， $3$\displaystyle{n}$ の桁数 $3$\displaystyle{ +1 }$ の桁の最小値 $3$\displaystyle{ 100\cdot \cdot \cdot \cdot 0 }$ から $3$\displaystyle{n}$ を引くと( $3$n$ の2の補数 )が求まる．

また2の補数は $3$n$ の1と0を反転して1を加算したもの，つまり $3$n$ の1である最小桁以下を反転せず，それ以上の桁を反転したものである．

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最終更新日： 2023年10月7日