正弦定理

$正弦定理$ 三角形の各辺 $3$\displaystyle{a}$ , $3$\displaystyle{b}$ , $3$\displaystyle{c}$ と各角 $3$\displaystyle{\text{A}}$ , $3$\displaystyle{\text{B}}$ , $3$\displaystyle{\text{C}}$ の間に以下に示す関係がある．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{A} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{B} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{C} \hspace{2}}}$

この関係を，正弦定理という．

三角形の外接円の半径を $3$\displaystyle{R}$ とすると，正弦定理は

となる．

■証明

三角形の頂点 $3$\displaystyle{\text{C}}$ から辺 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ に垂線 $3$\displaystyle{\text{CD}}$ を引く．

直角三角形 $3$\displaystyle{\text{ACD}}$ と直角三角形 $3$\displaystyle{\text{BCD}}$ ができる．

直角三角形の辺と三角比より

△ $3$\displaystyle{\text{ACD}}$ より： $3$\displaystyle{\sin \text{A}=\frac{\hspace{2} \text{CD} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AC} \hspace{2}}\rightarrow \text{CD}=\text{AC}\sin \text{A}}$

△ $3$\displaystyle{\text{BCD}}$ より： $3$\displaystyle{\sin \text{B}=\frac{\hspace{2} \text{CD} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{BC} \hspace{2}}\rightarrow \text{CD}=\text{BC}\sin \text{B}}$

$3${}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \text{AC}\sin \text{A}=\text{BC}\sin \text{B}$

式を変形して

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \text{BC} \hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{A} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \text{AC} \hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{B} \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{A} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{B} \hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} } $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet a=\text{B}\text{C},b=\text{A}\text{C} $ }$ ･･････(1)

同様にして

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{A} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{C} \hspace{2}}}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{B} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{C} \hspace{2}}}$ ･･････(3)

(1)，(2)，(3)より　

次に，△ $3$\displaystyle{\text{ABC}}$ の外接円を描き，その円の中心を $3$\displaystyle{\text{O}}$ ，半径を $3$\displaystyle{R}$ とする． $3$\displaystyle{\text{BO}}$ を延長して外接円と交わる点を $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }}$ とする． $3$\displaystyle{\angle \text{BAC}=\angle \text{B}{\text{A}}^{\prime }\text{C}}$ （∵円周角の定理）で， $3$\displaystyle{\angle {\text{A}}^{\prime }\text{CB}=90^\circ }$ あることより

$3$\displaystyle{ 2R\sin \angle \text{B}{\text{A}}^{\prime }\text{\hspace{5}C}=a }$ → $3$\displaystyle{2R\sin \text{A}=a}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sin \text{A} \hspace{2}}=2R}$

となる．よって，正弦定理は

となる．

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最終更新日： 2023年3月10日