剰余定理

整式 $3$\displaystyle{ F$x$ }$ を $3$\displaystyle{ x- {\alpha} }$ で割ったときの余りを $3$\displaystyle{r}$ とすると

$3$\displaystyle{ F${\alpha}$=r }$

となる．余りは除数よりも次数が低くなるので， $3$\displaystyle{r}$ は $3$\displaystyle{x}$ を含まない．

言い換えると，整式 $3$ F$x$$ を $3$ x- a$ で割ったときの余りは $3$F$a$$ と等しくなる．

■解説

整式 $3$\displaystyle{ F$x$ }$ を $3$\displaystyle{ x- {\alpha} }$ で割ったときの商を $3$\displaystyle{ Q$x$ }$ ，余りを $3$\displaystyle{r}$ とすると

$3$ F$x$= $ x- {\alpha} $ Q$x$+r$

と表すことができる．この整式 $3$\displaystyle{ F$x$ }$ の $3$\displaystyle{x}$ に $3$\displaystyle{{\alpha}}$ を代入すると，

$3$\displaystyle{F${\alpha}$= $ {\alpha}- {\alpha} $ Q${\alpha}$+r=r}$

となり，剰余定理が導かれる．

具体的な例で確かめて見よう．

$3$F$x$=2{x}^{2}- 3x+1$ を $3$ x- 2$ で割ったときの商と余りを求めてみる．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{ }\text{ }\text{ }2x+1& \vspace{6}\\ x- 2\text{ }\text{ }\)\bar{ \text{ }2{x}^{2}- 3x+1\text{ } }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{ }\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}2{x}^{2}- 4x& \vspace{6}\\ \text{ }\text{ }\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{ }x+1 }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{ }\text{ }\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x- 2& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{ }\text{ }\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}3\text{ } }& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$2{x}^{2}- 3x+1= $ x- 2 $ $ 2x+1 $ +3$ 　

商： $3$Q$x$=2x+1$ ，余り： $3$r=3$ 　となりました．

一方，　

$3$F$2$=2\cdot {2}^{2}- 3\cdot 2+1=3$ 　

となり，剰余の定理通りになっていることが確かめられました．　

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最終更新日： 2023年7月14日