恒等式

恒等式とは，等式に含まれている文字に任意の文字を代入しても，その等式の両辺の値が存在する限りつねになりたつ等式のこと．

整式から成る恒等式の性質

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c=0}$ が文字 $3$\displaystyle{x}$ について恒等式 $3$\displaystyle{ \Leftrightarrow }$ $3$\displaystyle{a=b=c=0}$ （係数＝0）

恒等式であるので $3$\displaystyle{x=- 1,0,1}$ を代入しても等式は成り立ちつ．よって

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}a- b+c=0& \vspace{6}\\ c=0& \vspace{6}\\ a+b+c=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

の連立方程式が得られる．これを解くと $3$\displaystyle{a=b=c=0}$ となる．

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c={a}^{\prime }{x}^{2}+{b}^{\prime }x+{c}^{\prime }}$ が文字 $3$\displaystyle{x}$ について恒等式

$3$\displaystyle{ \Leftrightarrow }$ $3$\displaystyle{a={a}^{\prime },b={b}^{\prime },c={c}^{\prime }}$ （同じ次数の係数が等しい）

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c={a}^{\prime }{x}^{2}+{b}^{\prime }x+{c}^{\prime }}$ を右辺－左辺＝0に式を変形する．すると

$3$\displaystyle{ $ a- {a}^{\prime } $ {x}^{2}+ $ b- {b}^{\prime } $ x+ $ c- {c}^{\prime } $ =0}$

が得られる．性質1より， $3$\displaystyle{a={a}^{\prime },b={b}^{\prime },c={c}^{\prime }}$ が導かれる．

2次の整式について示したが，上の性質は $3$\displaystyle{n}$ 次の整式でも成り立つ．

恒等式の問題では，係数を求めなければならない場合がよくある．このような問題を解く手法として

数値代入法：適当な数値を代入して，係数の連立方程式を作り解く．
（ $3$\displaystyle{n}$ 次の恒等式で $3$\displaystyle{ n+1 }$ 個の係数（定数項を $3$0$ 次の係数と考えている）の内、 $3$\displaystyle{m}$ 個の係数が分かっている場合，残りの $3$\displaystyle{\left({ n+1 }\right)- m}$ 個の係数を求めるには $3$\displaystyle{\left({ n+1 }\right)- m}$ 個の数値を代入する必要がある）
係数比較法：両辺の同じ次数の項の係数を比較する連立方程式を作り解く．