三角不等式

実数 $3$x$ ， $3$y$ に対して不等式が成り立つ

$3$ \|x\| - \|y\| \leq \| x+y \| \leq \|x\| + \|y\|$ ･･････(1)

が成り立つ．

■証明

(1)の不等式を2つに分ける．

$3$\displaystyle{\left|{ x+y }\right|≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{\left|{x}\right|- \left|{y}\right|≦\left|{ x+y }\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

● $3$\displaystyle{\left|{ x+y }\right|≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の証明

$3$\displaystyle{- \left|{x}\right|≦x≦\left|{x}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(2)

$3$\displaystyle{- \left|{y}\right|≦y≦\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(3)

(1)+(3)より

$3$\displaystyle{- \left|{x}\right|- \left|{y}\right|≦x+y≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{- \left({ \left|{x}\right|+\left|{y}\right| }\right)≦x+y≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

● $3$\displaystyle{\left|{x}\right|- \left|{y}\right|≦\left|{ x+y }\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の証明

$3$\displaystyle{- \left|{x}\right|≦x≦\left|{x}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(4)

$3$\displaystyle{- \left|{y}\right|≦- y≦\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(5)

(4)+(5)より

$3$\displaystyle{- \left|{x}\right|- \left|{y}\right|≦x- y≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{- \left({ \left|{x}\right|+\left|{y}\right| }\right)≦x- y≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{\left|{ x- y }\right|≦\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(6)

ここで，

$3$x- y=z$ ･･････(7)

とおくと

$3$x=z+y$ ･･････(8)

（7），(8)を(6)に代入すると

$3$\left|{z}\right|≦\left|{ z+y }\right|+\left|{y}\right|$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(8)

となる．

$3$z$ を $3$x$ に書き換えると

$3$\left|{x}\right|≦\left|{ x+y }\right|+\left|{y}\right|$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\left|{x}\right|-\left|{y}\right|≦\left|{ x+y }\right|$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

が得られる．

■1次元ベクトルを使って，解説する．

$3$\left|{x}\right|=a$ とすると， $3$x$ は $3$a$ あるいは $3$-a$ である．また， $3$\left|{y}\right|=b$ とすると， $3$y$ は $3$b$ あるいは $3$-b$ である．ただし， $3$\displaystyle{a\leq b}$ とする．これらを，以下の2つの1次元ベクトルで表現することにする.