2つのベクトルが作る平行四辺形の符号付き面積

2つのベクトル $3$\displaystyle{{ a }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ b }\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積は，平行四辺形の面積に符号を付けたもので， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を回転して $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に重ねるとき反時計回りになる場合は正，時計回りになる場合は負になる．ただし， $3$\displaystyle{{ a }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ b }\limits^{\rightarrow }}$ が平行な場合は，符号付き面積は $3$0$ になる．

■具体事例

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{y} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{b}_{y} $ }$ のとき，平行四辺形の符号つき面積は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x}}$

となる．

● $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を回転して $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に重ねるとき反時計回りになる場合

図1

$3$\displaystyle{{ a }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ b }\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\text{OACB}$ の面積 $3$S$ を求める(図1の場合) ．

点 $3$\text{B}$ ，点 $3$\text{C}$ の2点を通る直線と $3$y$ 軸との交点を点 $3$\text{E}$ とする．平行四辺形 $3$\text{OACB}$ の面積 $3$S$ と平行四辺形 $3$\text{OADE}$ の面積 $3$\displaystyle{{S}^{\prime }}$ は等しい．なぜなら，辺 $3$\text{OA}$ が共通で，辺 $3$\text{OA}$ と線分 $3$\text{EC}$ が平行より辺 $3$\text{OA}$ を底辺とすると高さが等しくなるからである．平行四辺形 $3$\text{OADE}$ の面積 $3$\displaystyle{{S}^{\prime }}$ は，辺 $3$\text{OE}$ を底辺とすと，高さは線分 $3$\text{OF}$ になり

$3$\displaystyle{{S}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x} \hspace{2}}\times \hspace{1}{a}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x}}$

となる． $3$\displaystyle{S={S}^{\prime }}$ より

$3$\displaystyle{ S=\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x}> 0 }$ ･･････(1)

となる

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{x}< 0}$ のとき， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x} \hspace{2}}< 0}$ となり，(1)は成り立つ．

◇点 $3$\text{E}$ の座標

点 $3$\text{B}$ を通り， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ に平行な直線の方程式は

$3$\displaystyle{y- \hspace{1}{b}_{y}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{y} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x} \hspace{2}}\left({ x- \hspace{1}{b}_{x} }\right)}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{y} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x} \hspace{2}}x+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x} \hspace{2}}}$

となる．よって，点 $3$\text{E}$ の座標は

$3$\displaystyle{\left({ 0,\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{x} \hspace{2}} }\right)}$

となる．

● $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を回転して $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に重ねるとき時計回りになる場合

図2

$3$\displaystyle{{ a }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ b }\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\text{OACB}$ の面積 $3$S$ を求める(図2の場合) ．

同様に考えると

$3$\displaystyle{S=- \left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right)> 0}$ ･･････(2)

となる．

■まとめ

(1)，(2)をまとめると平行四辺形の符号つき面積は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }$

となる．

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最終更新日 2026年3月27日

2つのベクトルが作る平行四辺形の符号付き面積

■具体事例

● を回転して に重ねるとき反時計回りになる場合

◇点 の座標

● を回転して に重ねるとき時計回りになる場合

■まとめ

● $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を回転して $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に重ねるとき反時計回りになる場合

◇点 $3$\text{E}$ の座標

● $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を回転して $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に重ねるとき時計回りになる場合