線分をｍ：ｎに外分する点の位置ベクトル

点 $3$\text{R}$ が線分 $3$\text{PQ}$ を $3$ m:n$ の比に外分（点 $3$\text{R}$ が線分 $3$\text{PQ}$ 上以外の直線 $3$\text{PQ}$ 上にあり $3$\text{PR}:\text{QR}=m:n$ となる）するとき， $3$\displaystyle{ { \text{OR} }\limits^{\longrightarrow } }$ を $3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\longrightarrow }={p}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\longrightarrow }={q}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\longrightarrow }=\frac{\hspace{2} - n \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }}$

となる．

$3${p}\limits^{\rightarrow }$ ， $3${q}\limits^{\rightarrow }$ はそれぞれ点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の位置ベクトルになる．

【参考】

■導出

● $3$m< n$ の場合

$3$\displaystyle{ { \text{OR} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+{ \text{PR} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}{ \text{PQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}\left({ { \text{PO} }\limits^{⟶}+{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}\left({ - { \text{OP} }\limits^{⟶}+{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\left({ 1+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}} }\right){ \text{OP} }\limits^{⟶}- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}{ \text{OP} }\limits^{⟶}- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} n- m \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - n \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }$

● $3$m> n$ の場合

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{ \text{PQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}\left({ { \text{PO} }\limits^{⟶}+{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}\left({ - { \text{OP} }\limits^{⟶}+{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\left({ 1- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}} }\right){ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - n \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - n \hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m- n \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }$

●(1)，(2)より

$3$m< n$ ， $3$m> n$ とも

となる．

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最終更新日 2025年11月25日

線分をｍ：ｎに外分する点の位置ベクトル

■導出

● の場合

● の場合

●(1)，(2)より

● $3$m< n$ の場合

● $3$m> n$ の場合