梁が曲がったときの歪と応力

梁が図のように曲がったとき，中立面から $3$\displaystyle{y}$ の位置の層の梁の長さ方向の歪 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\varepsilon}}_{x}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\varepsilon}}_{x}=- \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}}$

応力 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{x}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{x}=- \frac{\hspace{2}E\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}y}$

と表される．

■導出

梁に正の曲げモーメントが働いたとき，梁は下に凸に曲がる．梁の微少な長さ $3$\displaystyle{ ds }$ の右側断面に生じる応力を考える．図のように中立面の梁の長さ方向に $3$\displaystyle{x}$ 軸をとり，曲がった梁の曲率半径の中心方向に $3$\displaystyle{y}$ 軸をとる．中立面に平行で $3$\displaystyle{y}$ 軸の値が $3$\displaystyle{y}$ である梁の微少な長さ $3$\displaystyle{ ds }$ は梁が曲がることにより $3$\displaystyle{d{s}^{\prime }}$ に変化する．よって長さ方向の歪 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\varepsilon}}_{x}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\varepsilon}}_{x}=\frac{\hspace{2} d{s}^{\prime }- ds \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}}$

となる．梁の曲率半径を $3$\displaystyle{R}$ とし，梁の微少長さ $3$\displaystyle{ ds }$ に対応する中心角を $3$\displaystyle{d{\theta}}$ とすると

$3$\displaystyle{ds=Rd{\theta}}$

$3$\displaystyle{d{s}^{\prime }= $ R- y $ d{\theta}}$

となる．よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\varepsilon}}_{x}=\frac{\hspace{2} $ R- y $ d{\theta}- Rd{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} Rd{\theta} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}}$

となる．応力 $3$\displaystyle{{\sigma}}$ と歪 $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ みの関係は

$3$\displaystyle{{\sigma}=E{\varepsilon}}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{x}=- \frac{\hspace{2}E\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}y}$

となる．

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最終更新日2017年5月30日