増減表

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフの概略を描くために, $3$\displaystyle{ y={f}^{\prime } $x$ }$ の符号を求めて関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ の増加および減少の様子を表にまとめたものが増減表である。

$3$x$ 　 $3$a$ 　 $3$b$ 　 $3$c$ 　

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ }$ $3$\displaystyle{+}$ 0 $3$\displaystyle{-}$ 0 $3$\displaystyle{+}$ 0 $3$\displaystyle{-}$

$3$\displaystyle{ f $x$ }$ $3$\displaystyle{\nearrow }$ $3$\displaystyle{ f $a$ }$ 極大値 $3$\displaystyle{\searrow }$ $3$\displaystyle{ f $b$ }$ 極小値 $3$\displaystyle{\nearrow }$ $3$\displaystyle{ f $c$ }$ 極大値 $3$\displaystyle{\searrow }$

上記の増減表からグラフの概略を描くと,以下のようになる。

$増減表$

増減表の書き方

関数 $3$\displaystyle{f $x$ ={x}^{3}+3{x}^{2}- 9x+5}$ を例に増減表の一般的な書き方を説明する。

1. $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =0}$ を満たす $3$x$ の値を求める。
※ $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =0}$ を満たす $3$x$ の値で関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は極大あるいは極小。

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{\prime } $x$ =3{x}^{2}+6x- 9& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=3 $ {x}^{2}+2x- 3 $ & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=3 $ x+3 $ $ x- 1 $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

よって, $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =0}$ を満たすxの値は, $3$\displaystyle{x=- 1,3}$ である。
求めた範囲で増減表を作成すると以下のようになる。

$3$x$	$3$\displaystyle{- 3}$	$3$\displaystyle{1}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	$3$\displaystyle{0}$	$3$\displaystyle{0}$
$3$\displaystyle{f $x$ }$

2.次に $3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ =0 }$ の符号を書き加え, $3$\displaystyle{f $x$ }$ の増減を矢印で示す。
※関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は $3$\displaystyle{f $x$ > 0}$ で増加,関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は $3$\displaystyle{f $x$ < 0}$ で減少。

$3$x$ 　 $3$\displaystyle{- 3}$ 　 $3$\displaystyle{1}$ 　

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ $3$\displaystyle{+}$ $3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{-}$ $3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{+}$

$3$\displaystyle{f $x$ }$ $3$\displaystyle{\nearrow }$ 　 $3$\displaystyle{\searrow }$ 　 $3$\displaystyle{\nearrow }$

3.最後に極値の値を求める。

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}f $ - 3 $ ={ $ - 3 $ }^{3}+3\cdot { $ - 3 $ }^{2}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}- 9\cdot $ - 3 $ +5& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=32& \vspace{6}\\ \end{array}}$
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}f $1$ ={ $1$ }^{3}+3\cdot { $1$ }^{2}- 9\cdot $1$ +5& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=0& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$x$		$3$\displaystyle{- 3}$		$3$\displaystyle{1}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	$3$\displaystyle{+}$	$3$\displaystyle{0}$	$3$\displaystyle{-}$	$3$\displaystyle{0}$	$3$\displaystyle{+}$
$3$\displaystyle{f $x$ }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	$3$\displaystyle{32}$	$3$\displaystyle{\searrow }$	$3$\displaystyle{0}$	$3$\displaystyle{\nearrow }$

$3$\displaystyle{f $x$ ={x}^{3}+3{x}^{2}- 9x+5}$ の
グラフはPC版を参照⇒

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$3$x$		$3$a$		$3$b$		$3$c$
$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } \(x\) }$	$3$\displaystyle{+}$	0	$3$\displaystyle{-}$	0	$3$\displaystyle{+}$	0	$3$\displaystyle{-}$
$3$\displaystyle{ f \(x\) }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	$3$\displaystyle{ f \(a\) }$ 極大値	$3$\displaystyle{\searrow }$	$3$\displaystyle{ f \(b\) }$ 極小値	$3$\displaystyle{\nearrow }$	$3$\displaystyle{ f \(c\) }$ 極大値	$3$\displaystyle{\searrow }$