複素数の積

複素数の積は 絶対値は積に， 偏角は和

$3$\displaystyle{\displaystyle{\begin{array}{lll} \mid \hspace{1}{z}_{1}\cdot \hspace{1}{z}_{2} \mid = \mid \hspace{1}{z}_{1}\mid \cdot \mid \hspace{1}{z}_{2}\mid & \vspace{6}\\ arg $ \hspace{1}{z}_{1}+ \hspace{1}{z}_{2} $ =arg\hspace{1}{z}_{1}+ arg\hspace{1}{z}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}}$

になる。これを図で示すと下の図のようになる。この特徴を図形問題に応用する場合が多い。

１．図形の回転

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に，絶対値が1で偏角が $3${\theta}$ の複素数 $3$z=\cos {\theta}+\mathbb{{i}}\sin {\theta}$ を掛けると，図形を $3${\theta}$ 回転させることができる。

２．図形の拡大／縮小

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に，絶対値が $3$r$ 偏角がの複素数 $3$z=r$ を掛けると，図形を $3$r$ 倍にすることができる。

３．図形の回転+拡大／縮小

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に，絶対値が $3$r$ 偏角が $3${\theta}$ の複素数 $3$z=r $ \cos {\theta}+\mathbb{{i}}\sin {\theta} $$ を掛けると，図形を $3${\theta}$ 回転させ，かつ $3$r$ 倍にすることができる。

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