$3$\displaystyle{ {z}^{n}={\alpha} }$ の解

まず，

$3${z}^{n}={\alpha}$ ･･････(1)

の解を

$3${\alpha}=r $ \cos {\theta}+\mathbb{{i}}\sin {\theta} $$ $3$ $ r> 0$$

とおくと

$3$\displaystyle{\displaystyle{\begin{array}{lll}\hspace{1}{z}_{k}& \vspace{6}\\ =\sqrt[n]{r} $ \cos \frac{\hspace{2} {\theta}+ 2{\pi}\cdot k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}+ \mathbb{{i}}\sin \frac{\hspace{2} {\theta}+ 2{\pi}\cdot k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}}$ $3$ $ k=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,n- 1 $$ ･･････(2)

となる。

■導出計算

(1)の解を

$3$z=R $ \cos {\varphi}+\mathbb{{i}}\sin {\varphi} $ \text{\hspace{10} \hspace{10} \hspace{10} }$ R> 0$$ ･･････(3)

とおく。ド・モアブルの定理より(1)は，

$3${R}^{n} $ \cos n{\varphi}+\mathbb{{i}}\sin n{\varphi} $ =r $ \cos {\theta}+\mathbb{{i}}\sin {\theta} $$ ･･････(4)

(4)の両辺を比較することにより，

$3${R}^{n}=r$ ･･････(5)

$3$\cos n{\varphi}=\cos {\theta},\sin n{\varphi}=\sin {\theta}$ ･･････(6)

R，rは正の実数であるから，(5)より

$3$R=\sqrt[n]{r}$ ･･････(7)

(6)より

$3$\displaystyle{n{\varphi}={\theta}+2{\pi}\cdot k}$

$3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet {\varphi}=\frac{\hspace{2} {\theta}+2{\pi}\cdot k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(7)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{k}=\sqrt[n]{r} $ \cos \frac{\hspace{2} {\theta}+2{\pi}\cdot k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}+\mathbb{{i}}\sin \frac{\hspace{2} {\theta}+2{\pi}\cdot k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }$ ･･････(8)

ところが，(8)より $3$\hspace{1}{z}_{ k+n }=\hspace{1}{z}_{k}$ となるので，k の値いは1，2，3，･･････，n－1となる。

よって解ば求められた。

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