$3$\displaystyle{I=\int {e}^{ ax }\sin bxdx }$

与式
$3$\displaystyle{=\int {e}^{ ax } { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\cos bx $ }^{\prime }dx}$
　　　　　部分積分の公式より
$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} {e}^{ ax } \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\cos bx}$
　 $3$\displaystyle{- \int a{e}^{ ax } $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\cos bx $ dx}$
$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} {e}^{ ax } \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\cos bx}$
　 $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\int {e}^{ ax } \cos bxdx}$
$3$\displaystyle{J=\int {e}^{ ax } \cos bxdx}$ とすると
　 $3$\displaystyle{=\int {e}^{ ax } { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\sin bx $ }^{\prime }dx}$
　　　　　部分積分の公式より
$3$\displaystyle{={e}^{ ax }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\sin bx}$
　 $3$\displaystyle{- \int a{e}^{ ax } \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\sin bxdx}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {e}^{ ax } \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\sin bx- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\int {e}^{ ax } \sin bxdx}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {e}^{ ax } \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\sin bx- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}I}$
　　　　　　[続き]