$3$\displaystyle{I=\int {e}^{ ax } \sin bxdx}$

与式
$3$\displaystyle{=\int { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax } $ }^{\prime }\sin bxdx}$
部分積分の公式より
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }\sin bx}$
　　　 $3$\displaystyle{- {\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax } $ \sin bx $ }}^{\prime }dx}$ 　　　　　
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }\sin bx- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\int {e}^{ ax } \cos bxdx}$

$3$\displaystyle{J=\int {e}^{ ax } \cos bxdx}$ 　
　　　　　とすると
　 $3$\displaystyle{ =\int { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax } $ }^{\prime }\cos bxdx }$
部分積分の公式より
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }\cos bx}$

　　　 $3$\displaystyle{- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }{ $ \cos bx $ }^{\prime }dx }}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }\cos bx}$

　　　 $3$\displaystyle{- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax } $ - b\sin bx $ }dx}$
$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }\cos bx }$
　　 $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\displaystyle{ \int {e}^{ ax } }\sin bx}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{e}^{ ax }\cos bx+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}I}$
　　　　［続き］