モンキー・ハンティング

モンキー・ハンティングとは「銃を持ったハンターが木から落ちたサルを狙ったときに，どのように銃を撃てば弾丸がサルにあたるか？」という問題である．

図1のように，水平方向に $3$\displaystyle{x}$ 軸，鉛直上向きに $3$\displaystyle{y}$ 軸をとり，原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ にある小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を $3$\displaystyle{x}$ 軸とのなす角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ の方向に，時刻 $3$\displaystyle{t=0}$ において，初速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{v}}_{0}}$ で位置 $3$\displaystyle{$R,\text{ }h$}$
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にある小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ を狙って投射した．それと同時に，小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ を初速ゼロで落下させた．重力加速度の大きさを $3$\displaystyle{g}$ とし，空気抵抗を無視できるものとする．

この状況において，ある時刻で小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ （弾丸）が必ず小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ （サル）と衝突することを以下で見ていく．

図1

小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ を狙って小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を投射しているので，角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ は

$3$\displaystyle{ \tan {\theta}=\frac{\hspace{2}h\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}} }$

を満たす．小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ の初速度の大きさを $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{0}=\left|{\hspace{1}{\mathbb{v}}_{0}}\right|}$ とすると，初速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{v}}_{0}=$\hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta},\text{ }\hspace{1}{v}_{0}\sin {\theta}$}$
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なので，小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ の $3$\displaystyle{x}$ 座標が $3$\displaystyle{R}$ に達するまでの，時刻 $3$\displaystyle{t}$ における小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ の位置 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{r}}_{\text{A}}=}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{A}}$t$,\text{ }\hspace{1}{y}_{\text{A}}$t$ }\right)}$
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は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{A}}$t$=\hspace{1}{v}_{0}t\cos {\theta} }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{A}}$t$=\hspace{1}{v}_{0}t\sin {\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}g{t}^{2} }$

と表される（加速度 $3$\displaystyle{\mathbb{a}=$0,- g$}$ の等加速度運動）．また，小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ の位置 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{r}}_{\text{B}}=}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{A}}$t$,\text{ }\hspace{1}{y}_{\text{A}}$t$ }\right)}$
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は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{B}}$t$=R }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{B}}$t$=h- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}g{t}^{2} }$

と表される．このとき，図2に示すように，重力の影響による2つの小球の落下距離は共に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}g{t}^{2}}$ である．小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ から小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ へのベクトルは

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{r}}_{\text{AB}}=\hspace{1}{\mathbb{r}}_{\text{B}}- \hspace{1}{\mathbb{r}}_{\text{A}} }$ $3$\displaystyle{ =\left({ \hspace{1}{x}_{\text{B}}$t$- \hspace{1}{x}_{\text{A}}$t$,\text{ }\hspace{1}{y}_{\text{B}}$t$- \hspace{1}{y}_{\text{A}}$t$ }\right) }$
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$3$\displaystyle{=\left({ R- \hspace{1}{v}_{0}t\cos {\theta},\text{ }h- \hspace{1}{v}_{0}t\sin {\theta} }\right)}$
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$3$\displaystyle{=\left({ R- \hspace{1}{v}_{0}t\cos {\theta},\text{ }R\tan {\theta}- \hspace{1}{v}_{0}t\sin {\theta} }\right)}$
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$3$\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta}\left({ \frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta} \hspace{2}}- t }\right),\text{ }\hspace{1}{v}_{0}\sin {\theta}\left({ \frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta} \hspace{2}}- t }\right) }\right)}$
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$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\mathbb{v}}_{0}\left({ \frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta} \hspace{2}}- t }\right)}$

となるので，小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ と小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ を結ぶ直線はどの時刻においても常に初速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{v}}_{0}}$ に平行，つまり，水平面に対して $3$\displaystyle{\tan {\theta}=h/R}$ を満たす方向となっている．

図2

上式において $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta} \hspace{2}}- t=0}$ のとき，つまり，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{R}=\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta} \hspace{2}}}$ において，２つの小球の位置は一致し，衝突する（図3）．このとき，小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ が落下した距離は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}gt_{R}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}g{ \left({ \frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{0}\cos {\theta} \hspace{2}} }\right) }^{2} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} g{R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2v_{0}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} g{R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2v_{0}^{2} \hspace{2}}$1+{ \tan }^{2}{\theta}$ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} g{R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2v_{0}^{2} \hspace{2}}\left({ 1+\frac{\hspace{2} {h}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {R}^{2} \hspace{2}} }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} g${R}^{2}+{h}^{2}$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2v_{0}^{2} \hspace{2}} }$

となる．したがって，小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ が地面に到達する前に衝突が起こるための，初速 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{0}}$ の満たす条件は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} g${R}^{2}+{h}^{2}$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2v_{0}^{2} \hspace{2}}< h }$ より $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{0}> \sqrt{ \frac{\hspace{2} g${R}^{2}+{h}^{2}$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2h \hspace{2}} } }$

である．

図3

下にモンキー・ハンティングのアニメーションを示す．右側は小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ （青球）から小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ （赤球）を見たときの視点でのアニメーションを示している．2つの小球が衝突するまで，小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ から見た小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ の相対速度は常に $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{v}}_{0}}$ であるので，小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ が直線的に速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{0}}$ で接近してくるように見える．（※ アニメーションでは，赤球と青球の位置が一致しても，衝突させずにすり抜けさせている．）

横から見たアニメーション

青球から赤球を見たときの視点

小球 $3$\displaystyle{\text{B}}$ を狙って小球 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を投射したときに，2つの小球が衝突する様子をモンキー・ハンティングのシミュレーションで確認してみよう．

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