円柱座標（円筒座標）

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2次元の $3$\displaystyle{xy}$ 平面における円座標の原点に，この平面と垂直に $3$\displaystyle{z}$ 軸をとり， $3$\displaystyle{xy}$ 平面上の動径座標 $3$\displaystyle{r}$ ，角度座標 $3$\displaystyle{{\theta}}$ および $3$\displaystyle{z}$ 座標を用いて3次元空間の任意の点の位置を指定するとき， $3$\displaystyle{ $r,{\theta},z$ }$ を円柱座標（円筒座標）という．ある一定の値の動径座標 $3$\displaystyle{r}$ に対する点 $3$\displaystyle{ $r,{\theta},z$ }$ の集合は， $3$\displaystyle{z}$ 軸を円筒軸とする円筒を描く．

円柱座標 $3$\displaystyle{ $r,{\theta},z$ }$ と3次元空間の直交座標 $3$\displaystyle{ $x,y,z$ }$ との間には

$3$\displaystyle{ x=r\cos {\theta} }$     - - - (1)
$3$\displaystyle{ y=r\sin {\theta} }$     - - - (2)
$3$\displaystyle{ z=z }$     - - - (3)

の関係がある．

平面における円座標と同様に， $3$\displaystyle{z}$ 軸上の任意の点 $3$\displaystyle{ $x,y,z$=$0,0,z$ }$ においては角度が定まらず特異点 $3$\displaystyle{ $r,{\theta},z$=$0,{\theta},z$ }$ となる．また， $3$\displaystyle{ - {\pi}< {\theta}\leq {\pi} }$ の場合には，直交座標から円柱座標への変換が

$3$\displaystyle{ r=\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } }$     - - - (4)
$3$\displaystyle{ {\theta}=sgn$y${\cos }^{ - 1 } $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } \hspace{2}} $ }$     - - - (5)
$3$\displaystyle{ z=z }$     - - - (6)

で与えられる．式(5)における $3$\displaystyle{sgn}$ は以下に示す符号関数である：

$3$\displaystyle{ sgn$y$=\left{{ \begin{array}1& $y\geq 0$ & \vspace{6}\\ - 1 & $y< 0$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

また， $3$\displaystyle{z}$ 軸上の点は特異点であり，式(5)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない．

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