3次元の極座標（球座標）

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3次元空間において，動径座標 $3$\displaystyle{r}$ と２つの角度座標 $3$\displaystyle{{\theta}}$ , $3$\displaystyle{{\phi}}$ を用いて任意の点の位置を指定するとき， $3$\displaystyle{ $r,{\theta},{\phi}$ }$ を3次元の極座標もしくは球座標という．ある一定の値の動径座標 $3$\displaystyle{r}$ に対する点 $3$\displaystyle{ $r,{\theta},{\phi}$ }$ の集合は，原点を中心とする半径 $3$\displaystyle{r}$ の球面を描く．

図のように，原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ から点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ までの距離を $3$\displaystyle{r}$ ，動径と $3$\displaystyle{z}$ 軸とのなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ ， $3$\displaystyle{xy}$ 平面への動径の射影（長さ： $3$\displaystyle{r\sin {\theta}}$ ）と $3$\displaystyle{x}$ 軸とのなす角を $3$\displaystyle{{\phi}}$ とする．極座標 $3$\displaystyle{ $r,{\theta},{\phi}$ }$ と3次元空間の直交座標 $3$\displaystyle{ $x,y,z$ }$ との間には

$3$\displaystyle{ x=r\sin {\theta}\cos {\phi} }$     - - - (1)
$3$\displaystyle{ y=r\sin {\theta}\sin {\phi} }$     - - - (2)
$3$\displaystyle{ z=r\cos {\theta} }$     - - - (3)

の関係がある．動径座標 $3$\displaystyle{r}$ の範囲は $3$\displaystyle{ 0\leq r< \infty }$ であり，２つの角度座標 $3$\displaystyle{{\theta}}$ , $3$\displaystyle{{\phi}}$ の範囲は各々， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}\leq {\pi} }$ ， $3$\displaystyle{ - {\pi}< {\phi}\leq {\pi} }$ （または $3$\displaystyle{ 0\leq {\phi}< 2{\pi} }$ ）である．

平面における円座標と同様に，原点 $3$\displaystyle{ $x,y,z$=$0,0,0$ }$ においては角度 $3$\displaystyle{{\theta}}$ , $3$\displaystyle{{\phi}}$ が定まらず特異点 $3$\displaystyle{ $r,{\theta},{\phi}$=$0,{\theta},{\phi}$ }$ となる．また，直交座標 $3$\displaystyle{$x,y,z$}$ から極座標 $3$\displaystyle{$r,{\theta},{\phi}$}$ への変換は

$3$\displaystyle{ r=\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} } }$     - - - (4)
$3$\displaystyle{ {\theta}={\cos }^{ - 1 } $ \frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} } \hspace{2}} $ }$     - - - (5)
$3$\displaystyle{ {\phi}=sgn$y${\cos }^{ - 1 } $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } \hspace{2}} $ }$     - - - (6)

で与えられる．式(6)における $3$\displaystyle{sgn}$ は以下に示す符号関数である：

$3$\displaystyle{ sgn$y$=\left{{ \begin{array}1& $y\geq 0$ & \vspace{6}\\ - 1 & $y< 0$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

また，原点は特異点であり，式(5)(6)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない．

$3$\displaystyle{{\phi}}$ の範囲が $3$\displaystyle{ 0\leq {\phi}< 2{\pi} }$ のとき，式(6)は

$3$\displaystyle{ {\phi}=sgn$y${\cos }^{ - 1 } $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } \hspace{2}} $ +{\pi}$1- sgn\(y$\) }$ - - - (7)

となる．

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