ベクトルの分解

任意の空間ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{A}}$ は，ある単位ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{n}}$ を用いて，

$3$\displaystyle{ \displaystyle{A}=\displaystyle{n}$\displaystyle{A}\cdot \displaystyle{n}$+\displaystyle{n}\times $\displaystyle{A}\times \displaystyle{n}$ }$

のように2つのベクトルに分解できる．右辺第1項目は $3$\displaystyle{\mathbb{n}}$ に平行なベクトルで，右辺第2項目は $3$\displaystyle{\mathbb{n}}$ に垂直なベクトルである．

[証明]

$3$\displaystyle{\displaystyle{A}\times $\displaystyle{B}\times \displaystyle{C}$=$\displaystyle{A}\cdot \displaystyle{C}$\displaystyle{B}- $\displaystyle{A}\cdot \displaystyle{B}$\displaystyle{C}}$ （※）より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{n}\times $\displaystyle{A}\times \displaystyle{n}$=$\displaystyle{n}\cdot \displaystyle{n}$\displaystyle{A}- $\displaystyle{n}\cdot \displaystyle{A}$\displaystyle{n} }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{A}- \displaystyle{n}$\displaystyle{n}\cdot \displaystyle{A}$ }$

なので，与式は成り立つ．ここで， $3$\displaystyle{\displaystyle{n}\cdot \displaystyle{n}={n}^{2}=1}$ を用いた．

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