ロドリゲスの回転公式の表現行列

3次元空間において，原点 O を通る任意の回転軸（軸方向の単位ベクトルを $3$\displaystyle{\mathbb{n}}$ とする）の周りに，位置ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{r}}$ を角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ だけ回転させる回転行列を $3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{\mathbb{n}}${\theta}$}$ とすると，回転後の位置ベクトル $3$\displaystyle{{\mathbb{r}}^{\prime }}$ は

$3$\displaystyle{ {\mathbb{r}}^{\prime }=\hspace{1}{R}_{\mathbb{n}}${\theta}$\text{\hspace{1}}\mathbb{r} }$

と表される．直交座標系において，回転軸方向の単位ベクトルを $3$\displaystyle{ \mathbb{n}= $\hspace{1}{n}_{1}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{n}_{2}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{n}_{3}$ }$ とすると，この回転行列は次式となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{\mathbb{n}}${\theta}$= $\begin{array} n_{1}^{2}\(1- \cos {\theta}$+\cos {\theta} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2}$1- \cos {\theta}$- \hspace{1}{n}_{3}\sin {\theta} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$+\hspace{1}{n}_{2}\sin {\theta} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2}$1- \cos {\theta}$+\hspace{1}{n}_{3}\sin {\theta} & n_{2}^{2}$1- \cos {\theta}$+\cos {\theta} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$- \hspace{1}{n}_{1}\sin {\theta} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$- \hspace{1}{n}_{2}\sin {\theta} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$+\hspace{1}{n}_{1}\sin {\theta} & n_{3}^{2}$1- \cos {\theta}$+\cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}\) }$

【導出】

ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

$3$\displaystyle{ {\mathbb{r}}^{\prime }=\mathbb{r}\text{\hspace{1}}\cos {\theta}+$1- \cos {\theta}$$\mathbb{r}\cdot \mathbb{n}$\text{\hspace{1}}\mathbb{n}+$\mathbb{n}\times \mathbb{r}$\text{\hspace{1}}\sin {\theta} }$ --- (1)

である．ベクトル射影の表現行列より

$3$\displaystyle{ $\mathbb{r}\cdot \mathbb{n}$\text{\hspace{1}}\mathbb{n}=\mathbb{n}\hspace{1}{}_{3}^{4}\mathbb{n}0_{1}^{2}\text{\hspace{1}}\mathbb{r} }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array} \hspace{1}{n}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{n}_{1} & \hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \end{array} $ \text{\hspace{1}}\mathbb{r} }$ $3$\displaystyle{ = $\begin{array} n_{1}^{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & n_{2}^{2} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & n_{3}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}$ \mathbb{r} }$

および，ベクトル積の表現行列より

$3$\displaystyle{ \mathbb{n}\times \mathbb{r}=\hspace{1}{ \[\mathbb{n}\] }_{\times }\mathbb{r} }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}0& - \hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{3} &0& - \hspace{1}{n}_{1} & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1} &0& \vspace{6}\\ \end{array} $ \mathbb{r} }$

であるので，(1) は行列表現において

$3$\displaystyle{ {\mathbb{r}}^{\prime }=\{\cos {\theta}\text{\hspace{1}}I+$1- \cos {\theta}$\text{\hspace{1}}\mathbb{n}\hspace{1}{}_{0}^{1}\mathbb{n}7_{8}^{9}+\sin {\theta}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ \[\mathbb{n}\] }_{\times }\}\text{\hspace{1}}\mathbb{r} }$

と表せる（ $3$\displaystyle{I}$ は単位行列）．したがって，回転行列

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{\mathbb{n}}${\theta}$=\cos {\theta}\text{\hspace{1}}I+$1- \cos {\theta}$\text{\hspace{1}}\mathbb{n}\hspace{1}{}_{2}^{3}\mathbb{n}9_{0}^{1}+\sin {\theta}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ \[\mathbb{n}\] }_{\times } }$
$3$\displaystyle{ =\cos {\theta}\text{\hspace{1}} $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ +$1- \cos {\theta}$\text{\hspace{1}} $\begin{array} n_{1}^{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & n_{2}^{2} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & n_{3}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ +\sin {\theta}\text{\hspace{1}} $ \begin{array}0& - \hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{3} &0& - \hspace{1}{n}_{1} & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1} &0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$
$3$\displaystyle{ = $\begin{array} n_{1}^{2}\(1- \cos {\theta}$+\cos {\theta} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2}$1- \cos {\theta}$- \hspace{1}{n}_{3}\sin {\theta} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$+\hspace{1}{n}_{2}\sin {\theta} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2}$1- \cos {\theta}$+\hspace{1}{n}_{3}\sin {\theta} & n_{2}^{2}$1- \cos {\theta}$+\cos {\theta} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$- \hspace{1}{n}_{1}\sin {\theta} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$- \hspace{1}{n}_{2}\sin {\theta} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3}$1- \cos {\theta}$+\hspace{1}{n}_{1}\sin {\theta} & n_{3}^{2}$1- \cos {\theta}$+\cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}\) }$

が得られる．また，ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

$3$\displaystyle{ {\mathbb{r}}^{\prime }=\mathbb{r}+$\mathbb{n}\times \mathbb{r}$\text{\hspace{1}}\sin {\theta}+$1- \cos {\theta}$\left{{ $\mathbb{r}\cdot \mathbb{n}$\mathbb{n}- \mathbb{r} }\right} }$ --- (2)

とも書けるので， $3$\displaystyle{ n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1 }$ を考慮すると

$3$\displaystyle{ $\mathbb{r}\cdot \mathbb{n}$\mathbb{n}- \mathbb{r}=$\mathbb{n}\hspace{1}{}_{5}^{6}\mathbb{n}2_{3}^{4}- I$\mathbb{r} }$ $3$\displaystyle{ = $\begin{array} n_{1}^{2}- 1 & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & n_{2}^{2}- 1 & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & n_{3}^{2}- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}$ \mathbb{r} }$
$3$\displaystyle{ = $\begin{array} - n_{2}^{2}- n_{3}^{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{2} & - n_{3}^{2}- n_{1}^{2} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{1}\hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2}\hspace{1}{n}_{3} & - n_{1}^{2}- n_{2}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}$ \mathbb{r} }$ $3$\displaystyle{ ={ $ \begin{array}0& - \hspace{1}{n}_{3} & \hspace{1}{n}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{n}_{3} &0& - \hspace{1}{n}_{1} & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{n}_{2} & \hspace{1}{n}_{1} &0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }^{2}\mathbb{r} }$ $3$\displaystyle{ = \[\mathbb{n}\] _{\times }^{2}\mathbb{r} }$

より，(2) は行列表現において

$3$\displaystyle{ {\mathbb{r}}^{\prime }=\{I+\sin {\theta}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ \[\mathbb{n}\] }_{\times }+$1- \cos {\theta}$\text{\hspace{1}} \[\mathbb{n}\] _{\times }^{2}\}\text{\hspace{1}}\mathbb{r} }$

と表せる．したがって，回転行列は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{\mathbb{n}}${\theta}$=I+\sin {\theta}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ \[\mathbb{n}\] }_{\times }+$1- \cos {\theta}$\text{\hspace{1}} \[\mathbb{n}\] _{\times }^{2} }$

とも書ける．

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