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連成振動（ばね‐質量‐ダンパー系（2連成））：シミュレーション

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運動を開始/停止する．初期状態に戻す．

2体連成振動

3つのバネで連結した2つの物体の運動

左壁と物体Aを結ぶバネをバネ1，物体間を結ぶバネをバネ2，物体Bと右壁を結ぶバネをバネ3とし，それぞれの間には物体の速度に比例する抵抗力を与えるダンパーが存在するとする．

物体A（質量 $3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{\text{A}}}$ 〔kg〕）と物体B（質量 $3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{\text{B}}}$ 〔kg〕）の運動方程式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{\text{A}}\frac{\hspace{2} {d}^{2}\hspace{1}{x}_{\text{A}} \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}=- \hspace{1}{k}_{1}\hspace{1}{x}_{\text{A}}- \hspace{1}{k}_{2}$\hspace{1}{x}_{\text{A}}- \hspace{1}{x}_{\text{B}}$- \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{v}_{\text{A}}- \hspace{1}{b}_{2}$\hspace{1}{v}_{\text{A}}- \hspace{1}{v}_{\text{B}}$}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{\text{B}}\frac{\hspace{2} {d}^{2}\hspace{1}{x}_{\text{B}} \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}=- \hspace{1}{k}_{2}$\hspace{1}{x}_{\text{B}}- \hspace{1}{x}_{\text{A}}$- \hspace{1}{k}_{3}\hspace{1}{x}_{\text{B}}- \hspace{1}{b}_{2}$\hspace{1}{v}_{\text{B}}- \hspace{1}{v}_{\text{A}}$- \hspace{1}{b}_{3}\hspace{1}{v}_{\text{B}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{A}},\hspace{1}{x}_{\text{B}}}$ 〔m〕：物体A，物体Bの変位， $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{A}},\hspace{1}{v}_{\text{B}}}$ 〔m/s〕：物体A，物体Bの速度
$3$\displaystyle{\hspace{1}{k}_{1},\hspace{1}{k}_{2},\hspace{1}{k}_{3}}$ 〔N/m〕：バネの弾性定数， $3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3}}$ 〔N・s/m〕：ダンパーの減衰係数

散逸関数 $3$\displaystyle{D=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\{\hspace{1}{b}_{1}v_{\text{A}}^{2}+\hspace{1}{b}_{2}{ $\hspace{1}{v}_{\text{A}}- \hspace{1}{v}_{\text{B}}$ }^{2}+bv_{\text{B}}^{2}\}}$

ダンパーで消費される単位時間当たりのエネルギー量： $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dE \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- 2D}$ 〔J/s〕

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{A}}=\hspace{1}{C}_{\text{A}}{e}^{ {\lambda}t }}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{B}}=\hspace{1}{C}_{\text{B}}{e}^{ {\lambda}t }}$ とおき，運動方程式に代入して整理すると次の連立方程式を得る．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{\text{A}}{{\lambda}}^{2}\hspace{1}{C}_{\text{A}}+$\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}${\lambda}\hspace{1}{C}_{\text{A}}+$\hspace{1}{k}_{1}+\hspace{1}{k}_{2}$\hspace{1}{C}_{\text{A}}- \hspace{1}{b}_{2}{\lambda}\hspace{1}{C}_{\text{B}}- \hspace{1}{k}_{2}\hspace{1}{C}_{\text{B}}=0}$

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{b}_{2}{\lambda}\hspace{1}{C}_{\text{A}}- \hspace{1}{k}_{2}\hspace{1}{C}_{\text{A}}+\hspace{1}{m}_{\text{B}}{{\lambda}}^{2}\hspace{1}{C}_{\text{B}}+$\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{b}_{3}${\lambda}\hspace{1}{C}_{\text{B}}+$\hspace{1}{k}_{2}+\hspace{1}{k}_{3}$\hspace{1}{C}_{\text{B}}=0}$

上の2式を行列で表すと次式となる．

$3$\displaystyle{ $ \begin{array} \hspace{1}{m}_{\text{A}}{{\lambda}}^{2}+\(\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}${\lambda}+\hspace{1}{k}_{1}+\hspace{1}{k}_{2} & - \hspace{1}{b}_{2}{\lambda}- \hspace{1}{k}_{2} & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{b}_{2}{\lambda}- \hspace{1}{k}_{2} & \hspace{1}{m}_{\text{B}}{{\lambda}}^{2}+$\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{b}_{3}${\lambda}+\hspace{1}{k}_{2}+\hspace{1}{k}_{3} & \vspace{6}\\ \end{array} \) $ \begin{array} \hspace{1}{C}_{\text{A}} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{C}_{\text{B}} & \vspace{6}\\ \end{array} $ =0}$

非自明な解をもつ条件は

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{m}_{\text{A}}{{\lambda}}^{2}+$\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}${\lambda}+\hspace{1}{k}_{1}+\hspace{1}{k}_{2} & - \hspace{1}{b}_{2}{\lambda}- \hspace{1}{k}_{2} & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{b}_{2}{\lambda}- \hspace{1}{k}_{2} & \hspace{1}{m}_{\text{B}}{{\lambda}}^{2}+$\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{b}_{3}${\lambda}+\hspace{1}{k}_{2}+\hspace{1}{k}_{3} & \vspace{6}\\ \end{array} \| =0}$

であり，この $3$\displaystyle{{\lambda}}$ についての4次方程式の解 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{i}}$ （ $3$\displaystyle{i=1\sim 4}$ ）とそれに対応する連立方程式の解 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{ \text{A}i }}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{ \text{B}i }}$ を用いて，運動方程式の一般解は

$3$\hspace{1}{x}_{\text{A}}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{4} \hspace{1}{C}_{ \text{A}i } }{e}^{ \hspace{1}{{\lambda}}_{i}t }$ ， $3$\hspace{1}{x}_{\text{B}}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{4} \hspace{1}{C}_{ \text{B}i } }{e}^{ \hspace{1}{{\lambda}}_{i}t }$

と求まる．連立方程式の解 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{ \text{A}i }}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{ \text{B}i }}$ は一意に求まらないので，初期条件によって一意に決定する．

また，4次方程式の解は一般に複素数であり，実数係数の方程式の場合，必ず共役複素数の解（ $3$\displaystyle{{\lambda}=a\pm ib}$ ）となる．物理的には，複素解では減衰振動となり，実数解では過減衰や臨界減衰(重根の場合)となる．

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2体連成振動

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