KIT Physics Navigation translated by google translate

減衰振動（ばね‐質量‐ダンパー系）：シミュレーション

単振動する物体に速度に比例する抵抗力が作用するときの物体の運動

JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

振動を開始/停止する．初期位置に戻す．

物体の質量 $3$\displaystyle{m}$ ，ばね定数 $3$\displaystyle{k}$ ，抵抗の比例定数 $3$\displaystyle{b}$ を調整して，不足減衰，臨界減衰，過減衰を設定できる．
初期位置 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}}$ ，および初期速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{0}}$ を変更することができる．設定は初期位置（ $3$\displaystyle{t=0}$ ）の時に反映される．
グラフに表示する横軸（時刻 $3$\displaystyle{t}$ ）の上限を変えることができる．

時刻 $3$\displaystyle{t}$ 〔s〕における質量 $3$\displaystyle{m}$ 〔kg〕の物体の位置 $3$\displaystyle{x}$ 〔m〕，速度 $3$\displaystyle{v}$ 〔m/s〕，加速度 $3$\displaystyle{a}$ 〔m/s²〕

運動方程式 $3$\displaystyle{ ma=F=- kx- bv }$ （ $3$\displaystyle{ k,b> 0 }$ ）

$3$\displaystyle{k}$ 〔N/m〕：ばね定数， $3$\displaystyle{b}$ 〔N・s/m〕：速度に比例する抵抗力の比例定数

減衰率： $3$\displaystyle{ {\gamma}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2m \hspace{2}} }$ 〔s^-1〕，単振動の角振動数： $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{0}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}} } }$ 〔rad/s〕

◆ $3$\displaystyle{ {\gamma}< \hspace{1}{{\omega}}_{0} }$ （ $3$\displaystyle{ b< 2\sqrt{mk} }$ ）：抵抗が弱い場合（不足減衰）

$3$\displaystyle{ x=A{e}^{ - {\gamma}t }\cos ${\omega}t+\alpha $ }$ $3$\displaystyle{ {\omega}=\sqrt{ {\omega}_{0}^{2}- {{\gamma}}^{2} } }$
$3$\displaystyle{ v=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- A{e}^{ - {\gamma}t } \{ {\gamma}\cos ${\omega}t+\alpha $+{\omega}\sin ${\omega}t+\alpha $ \} }$

$3$\displaystyle{A}$ 〔m〕：振幅， $3$\displaystyle{{\omega}}$ 〔rad/s〕：減衰振動の角振動数， $3$\displaystyle{\alpha }$ 〔rad〕：初期位相

◆ $3$\displaystyle{ {\gamma}=\hspace{1}{{\omega}}_{0} }$ （ $3$\displaystyle{ b=2\sqrt{mk} }$ ）：臨界減衰

$3$\displaystyle{ x= $ \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}t $ {e}^{ - {\gamma}t } }$ （ $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ 〔m〕， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ 〔m/s〕：定数）
$3$\displaystyle{ v=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}= \{ \hspace{1}{c}_{2}- {\gamma}$\hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}t$ \} {e}^{ - {\gamma}t } }$

◆ $3$\displaystyle{ {\gamma}> \hspace{1}{{\omega}}_{0} }$ （ $3$\displaystyle{ b> 2\sqrt{mk} }$ ）：抵抗が強い場合（過減衰）

$3$\displaystyle{ x={e}^{ - {\gamma}t } $ \hspace{1}{c}_{1}{e}^{ {\eta}t }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ - {\eta}t } $ }$ $3$\displaystyle{ {\eta}=\sqrt{ {{\gamma}}^{2}- {\omega}_{0}^{2} } }$ （ $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ 〔m〕， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ 〔m〕：定数）
$3$\displaystyle{ v=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- {e}^{ - {\gamma}t } \{ ${\gamma}- {\eta}$\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ {\eta}t }+${\gamma}+{\eta}$\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ - {\eta}t } \} }$

散逸関数 $3$\displaystyle{ D=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}b{v}^{2} }$ ⇒ 力学的エネルギー $3$\displaystyle{E}$ の散逸 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dE \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- 2D=- b{v}^{2} }$ 〔J/s〕

減衰振動（ばね‐質量‐ダンパー系） ： シミュレーション

減衰振動（ばね‐質量‐ダンパー系）：シミュレーション