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減衰振動（不足減衰）：シミュレーション

単振動する物体に速度に比例する抵抗力が作用するときに，振幅が時間とともに小さくなる振動現象

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振動を開始/停止する．初期位置に戻す．

抵抗がない場合（単振動）の固有振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\omega}}_{0}}$ と減衰率 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の比である減衰比 $3$\displaystyle{ {\zeta}= {\gamma}/ \hspace{1}{{\omega}}_{0} }$ を大きくすると速く減衰する．ここでは，減衰比を $3$\displaystyle{ {\zeta}< 1 }$ として，不足減衰（ $3$\displaystyle{ {\gamma}< \hspace{1}{{\omega}}_{0} }$ ）の場合のみに限定している．グラフに表示する横軸（時刻 $3$\displaystyle{t}$ ）の上限を変えることができる．

時刻 $3$\displaystyle{t}$ 〔s〕における質量 $3$\displaystyle{m}$ 〔kg〕の物体の位置 $3$\displaystyle{x}$ 〔m〕，速度 $3$\displaystyle{v}$ 〔m/s〕，加速度 $3$\displaystyle{a}$ 〔m/s²〕

$3$\displaystyle{ x=A{e}^{ - {\gamma}t }\cos ${\omega}t+\alpha $ }$ $3$\displaystyle{ {\omega}=\sqrt{ {\omega}_{0}^{2}- {{\gamma}}^{2} } }$

$3$\displaystyle{ v=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- A{e}^{ - {\gamma}t } \{ {\gamma}\cos ${\omega}t+\alpha $+{\omega}\sin ${\omega}t+\alpha $ \} }$

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- ${{\omega}}^{2}+{{\gamma}}^{2}$A{e}^{ - {\gamma}t }\cos ${\omega}t+\alpha $}$ $3$\displaystyle{+2{\gamma}A{e}^{ - {\gamma}t } \{ {\gamma}\cos ${\omega}t+\alpha $+{\omega}\sin ${\omega}t+\alpha $ \} }$

$3$\displaystyle{=- {\omega}_{0}^{2}x- 2{\gamma}v}$

$3$\displaystyle{A}$ 〔m〕：振幅， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\omega}}_{0}}$ 〔rad/s〕：単振動の角振動数， $3$\displaystyle{{\omega}}$ 〔rad/s〕：減衰振動の角振動数，

$3$\displaystyle{{\gamma}}$ 〔rad/s〕：減衰率， $3$\displaystyle{\alpha }$ 〔rad〕：初期位相（上のシミュレーションでは $3$\displaystyle{\alpha =0}$ としている．）

運動方程式 $3$\displaystyle{ ma=- m{\omega}_{0}^{2}x- 2m{\gamma}v=F }$

散逸関数 $3$\displaystyle{ D=m{\gamma}{v}^{2} }$ ⇒ 力学的エネルギー $3$\displaystyle{E}$ の散逸 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dE \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- 2D=- 2m{\gamma}{v}^{2} }$

不足減衰

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減衰振動（不足減衰） ： シミュレーション

減衰振動（不足減衰）：シミュレーション