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ケーリー・ハミルトンの定理の具体例

■問題

行列 $3$\displaystyle{ A= \( \begin{array}{lll}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} \) }$ が $3$\displaystyle{{A}^{2}- 4A+3E=O}$ を満たすとき， $3$\displaystyle{a+d}$ , $3$\displaystyle{ad- bc}$ の値を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\(a+d,ad- bc\)=\(2,1\),\(4,3\),\(6,9\)}$

■解説

$3$\displaystyle{a+d=p}$ , $3$\displaystyle{ad- bc=q}$ とおく．

行列 $3$\displaystyle{A}$ について，ケーリー・ハミルトンの定理より

$3$\displaystyle{{A}^{2}- pA+qE=O}$

が成り立つ．

よっ

$3$\displaystyle{{A}^{2}=pA- qE}$ ･･････(1)

(1)を

$3$\displaystyle{{A}^{2}- 4A+3E=O}$ ･･････(2)

に代入する

$3$\displaystyle{\(p- 4\)A- \(q- 3\)E=O}$ ･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{\[1\]}$ $3$\displaystyle{p=4}$ のとき

(3)から

$3$\displaystyle{ q=3 }$

[2] $3$\displaystyle{ p\neq 4 }$ のとき

(3)から

$3$\displaystyle{A=\frac{\hspace{2} q- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} p- 4 \hspace{2}}E}$ 　･･････(4)

となり

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} q- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} p- 4 \hspace{2}}=k}$ 　･･････(5)

とおくと

$3$\displaystyle{A=kE}$ 　･･････(6)

となる．(6)を(2)に代入すると

$3$\displaystyle{\({k}^{2}- 4k+3\)E=O}$

が得られる．よって

$3$\displaystyle{{k}^{2}- 4k+3=0}$

となる．これを解くと

$3$\displaystyle{k=1,3}$

が得られる．したがって

$3$\displaystyle{A= \( \begin{array}{lll}1&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} \) , \( \begin{array}{lll}3&0& \vspace{6}\\ 0&3& \vspace{6}\\ \end{array} \) }$

$3$\displaystyle{p=2,q=1;p=6,q=9}$

となる．

以上より

$3$\displaystyle{\(a+d,ad- bc\)=\(2,1\),\(4,3\),\(6,9\)}$

となる．

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最終更新日： 2016年12月3日