重積分の計算問題

■問題

次の2重積分を求めよ．その際領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ の図を描くこと．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} xydxdy \text{\hspace{1} }}$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:{x}^{2}\leq y\leq x $ \text{\hspace{1} }}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

■ヒント

はじめに領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図し， $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

■解説

$3$\displaystyle{ D:{x}^{2}\leq y\leq x \text{\hspace{1} }}$ より， $3$\displaystyle{ y={x}^{2} \text{\hspace{1} }}$ の曲線と $3$\displaystyle{y=x\text{\hspace{1} }}$ の直線とで囲まれた領域が領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ になる．

$3$\displaystyle{ y={x}^{2} \text{\hspace{1} }}$ の曲線と $3$\displaystyle{y=x\text{\hspace{1} }}$ の直線との交点の $3$x$ の値は

$3$\displaystyle{{x}^{2}=x\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- x=0\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{x $ x- 1 $ =0\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{x=0,1\text{\hspace{1} }}$

となり，グラフにまとめると図のようになる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} xydxdy \text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ \displaystyle{ \int _{ {x}^{2} }^{x} xydy } $ }dx\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x{y}^{2} \] _{ {x}^{2} }^{x}dx }\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{5} $ dx }\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{x}^{6} \] _{0}^{1}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

●別解

$3$x$ で積分してから $3$y$ で積分する場合を考える．

$3$\displaystyle{y=x}$ 　→　 $3$\displaystyle{x=y}$

$3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 　→　 $3$\displaystyle{x=\sqrt{y}}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} xydxdy \text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ \displaystyle{ \int _{y}^{ \sqrt{y} } xydx } $ }dy\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}y \] _{y}^{ \sqrt{y} } }dy\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{3} $ }dx\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{y}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{y}^{4} \] _{0}^{1}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 4- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月4日