対数正規分布(log-normal distribution)

対数正規分布は，正規分布 ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}}$ の確率変数 $X$ を ${\displaystyle Y=e^X}$ を用いて確率変数 $y$ に変換することによって得られた分布で， 確率密度関数（確率分布）が

${\displaystyle g\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma y}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{\log y-\mu }{\sigma }\right)}^2}}$ 　･･････(1)

となる．累積分布関数は

${\displaystyle G\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{y}g\left(t\right)dt}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^y\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma y}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{\log y-\mu }{\sigma }\right)}^2}dt}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left[1+\text{erf}\left(\frac{\log y–\mu }{\sqrt{2}\sigma }\right)\right]}$ 　･･････(2)

（ただし，${\displaystyle \text{erf}\left(x\right)}$ は誤差関数で，${\displaystyle \text{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t^2}dt}}$ である）

である．

■導出

確率変数 $X$ が正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,\sigma \right)}$ に従っているとする．確率密度関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}}$ 　･･････(3)

より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx}}$ ${\displaystyle =1}$　･･････(4)

となる．

確率変数 $X$ を ${\displaystyle Y=e^X}$ を用いて確率変数 $y$ に変換する．

${\displaystyle x=\log y}$ 　 $y>0$ とおいて上の定積分を変数 $x$ から変数 $y$ 置換する．

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}\to dx=\frac{1}{y}dy}$

$x:-\infty \to \infty$ のとき $y:0\to \infty$

より，(4)を書き直すと

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{\log y-\mu }{\sigma }\right)}^2}\cdot \frac{1}{y}dy}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma y}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{\log y-\mu }{\sigma }\right)}^2}dy}}$ ${\displaystyle =1}$ 　･･････(5)

となる．

${\displaystyle g\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma y}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{\log y-\mu }{\sigma }\right)}^2}}$　$y>0$ 　･･････(6)

とおくと

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(y\right)dy}=1}$ 　･･････(7)

となり，確率密度関数の条件を満たしている．

確率変数$Y$の自然対数 $\log Y$ が正規分布に従うので，この確率分布を対数正規分布という．

対数を取っていることより，低い方に一定の限度がある場合に適応できる分布である．

　

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最終更新日： 2024年3月13日