中心極限定理

平均${\displaystyle \mu }$，分散${\displaystyle {\sigma }^2}$をもつ母集団から$n$個の標本，${\displaystyle x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n}$，を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集合に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．取り出した${\displaystyle x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n}$の値は，復元抽出をしていることより互いに独立な確率変数， ${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$，となる．${\displaystyle x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n}$の平均$\overline{x}$も確率変数となり${\displaystyle \overline{X}}$ で表すとする．

確率変数

${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdot \cdot \cdot +X_n\right)}$　･･････(1)

について

${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=\mu }$　･･････(2)

${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}}$　･･････(3)

が成り立つ．

さらに以下のことが成り立つ．

1. ${\displaystyle n\to +\infty }$のとき．${\displaystyle \overline{X}}$ は，正規分布 $N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ に従う．
2. ${\displaystyle \overline{X}}$ を標準化した確率変数 ${\displaystyle Y=\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}$　 は，${\displaystyle n\to +\infty }$のとき標準正規分布 ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$に従う．
3. 母集団が正規分布に従うなら， ${\displaystyle \overline{X}}$ は $x$ の大きさに関わらず正規分布に従う．

■証明

平均${\displaystyle \mu }$，分散${\displaystyle {\sigma }^2}$をもつ母集団という前提より

${\displaystyle E\left(X_i\right)=\mu }$　･･････(4)

${\displaystyle V\left(X_i\right)={\sigma }^2}$　･･････(5)

である．

●${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=\mu }$について

${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=E\left(\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}E\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)}$　ここを参照

${\displaystyle =\frac{1}{n}\left\{E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+\cdots +E\left(X_n\right)\right\}}$　ここを参照

${\displaystyle =\frac{1}{n}\left(\mu +\mu +\cdots +\mu \right)}$　∵(4)

${\displaystyle =\frac{1}{n}\cdot n\mu }$

${\displaystyle =\mu }$

●${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}}$について

${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=V\left(\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)\right)}$

${\displaystyle ={\left(\frac{1}{n}\right)}^{2}V\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)}$　ここを参照

${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$が互いに独立であることより

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}\left\{V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)+\cdots +V\left(X_n\right)\right\}}$　ここを参照

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}\left({\sigma }^2+{\sigma }^2+\cdots +{\sigma }^2\right)}$　∵(5)

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2}$

${\displaystyle =\frac{{\sigma }^2}{n}}$

　

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　最終更新日： 2024年4月23日