楕円の方程式
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楕円の方程式

■楕円の定義

楕円 横長
F 1 P+F 2 P=一定の長さ  (ここでは 2aとおく)

 を満たす点Pの軌跡のことを楕円という.そして, F 1 F 2  のことを焦点という.

楕円の方程式(標準形)は

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ( a>b>0 )

と表される.

焦点 F 1  の座標: ( f , 0 ) = ( a 2 b 2 , 0 )

焦点 F 2  の座標: ( f , 0 ) = ( a 2 b 2 , 0 )

長軸の長さ: 2 a

短軸の長さ: 2 b

 となる.

■楕円の方程式の導出

点Pの座標を ( x,y )  とすると F 1 P+F 2 P=2a  の関係より,

( x+f ) 2 + y 2 + ( xf ) 2 + y 2 =2a

( x+f ) 2 + y 2 =2a ( xf ) 2 + y 2

両辺を2乗して,整理すると,

( x+f ) 2 + y 2 =4 a 2 4a ( xf ) 2 + y 2 + ( xf ) 2 + y 2

a ( xf ) 2 + y 2 = a 2 xf

a 2 { ( xf ) 2 + y 2 }= a 4 2 a 2 xf+ x 2 f 2

( a 2 f 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 f 2 )

両辺を a 2 ( a 2 f 2 ) で割ると,

x 2 a 2 + y 2 a 2 f 2 =1

b 2 + f 2 = a 2  の関係より,

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

となり,楕円の方程式(基本形)が求まる.

楕円 縦長

■楕円の定義(b>a>0 の場合)

a>b>0の場合と違い,焦点がy座標に移る.

焦点F1 の座標: ( 0,f )=( 0, b 2 a 2 )

焦点 F 2 の座標: ( 0,f )=( 0, b 2 a 2 )

長軸の長さ: 2a

 短軸の長さ: 2b

となる.

■楕円の方程式の導出( b>a>0 の場合)

点Pの座標を ( x,y )  とすると F 1 P+F 2 P=2b  の関係より,

x 2 + ( yf ) 2 + x 2 + ( y+f ) 2 =2b

x 2 + ( y+f ) 2 =2b x 2 + ( yf ) 2

両辺を2乗して,整理すると,

x 2 + ( y+f ) 2 =4 b 2 4b x 2 + ( yf ) 2 + x 2 + ( yf ) 2

b x 2 + ( yf ) 2 = b 2 yf

b 2 { x 2 + ( yf ) 2 }= b 4 2 b 2 yf+ y 2 f 2

b 2 x 2 +( b 2 f 2 ) y 2 = b 2 ( b 2 f 2 )

両辺を b 2 ( b 2 f 2 ) で割ると,

x 2 b 2 f 2 + y 2 b 2 =1

a 2 + f 2 = b 2 の関係より,

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

となり,楕円の方程式(基本形)が求まる.

 

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最終更新日 2013年7月25日

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