相似条件

■相似な立体の体積比

相似な立体で対応する部分の長さが${\displaystyle k}$ 倍なら，体積は${\displaystyle k^3}$倍である．

証明

一例として，直方体で証明する．

下図において，直方体 ${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$ は相似である．

${\displaystyle \text{P}}$ と ${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$の相似比が ${\displaystyle 1:k}$ のとき，

${\displaystyle \text{P}}$ の体積を ${\displaystyle V}$， ${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$ の体積を ${\displaystyle V^{\prime }}$ とおく．

${\displaystyle V=abc}$･･････(1)

${\displaystyle V^{\prime }=ka\cdot kb\cdot kc}$${\displaystyle =k^{3}abc}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle V:V^{\prime }=1:k^3}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年10月3日