置換積分法の例

■代表的な置換 

  1. a 2 x 2 x=asinθ     ( π 2 θ π 2 ) ,または x=acosθ     ( 0θπ )
  2. a 2 + x 2 { x+ a 2 + x 2 =t x=atanθ ( π 2 <θ< π 2 )
  3. x 2 a 2 { x+ x 2 a 2 =t x= a cosθ ( 0θ< π 2 , π 2 <θπ )
  4. 1 a 2 + x 2 x=atanθ( π 2 <θ< π 2 )  ここを参照

■三角関数

  1. f( sinx )cosxdx  の場合, sinx=t  とおく. cosxdx=dt

  2. f( cosx )sinxdx  の場合, cosx=t  とおく. cosxdx=dt

  3. f( tanx )· 1 cos 2 x dx  の場合, tanx=t  とおく . dt dx = 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx=dt

  4. f( sinx,cosx )dx の場合, tan x 2 =t  とおく.
    sinx= 2t 1+ t 2 cosx= 1 t 2 1+ t 2 d x = 2 1 + t 2 d t   ここを参照のこと

 

■置換積分法を用いた公式

  1. f ( x ) f( x ) dx =log| f( x ) |+C

  2. f ( g( x ) ) g ( x )dx =f( g( x ) )+C

  3. { f( x ) } α f ( x )dx = { f( x ) } α+1 α+1 +C

 

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最終更新日: 2023年10月3日