円錐の体積
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円錐の体積

円錐の体積は,

V= 1 3 π r 2 h r :半径, h :高さ )

の公式で求めることができる.

この公式は,円柱の体積の公式  V=π r 2 h 1 3 をかけたものと考えることができるが,なぜ円柱の体積に 1 3 をかけることにより円錐の体積が得られるのかを,定積分法区分求積法を用いて説明する.

ここで,説明に用いる円錐は f( x )=x 0x1 (半径1,高さ1)のものとする. 

■導出

●円柱の体積

円柱の体積の公式より, 

V=π r 2 h  

=π× 1 2 ×1  

=π  

●円錐の体積の公式を用いた場合

円錐の体積の公式より, 

V= 1 3 π r 2 h  

= 1 3 π× 1 2 ×1  

= π 3  

●定積分の公式を用いた場合

定積分の基本式より,

a b f( x )dx= [ F( x ) ] a b =F( b )F( a )     ( F( x ) f( x ) の原始関数の1である )

求める円錐の底面積 S ( x ) S ( x ) = π { f ( x ) } 2 とすると,(これについては,体積の計算を参照)

0 1 S ( x ) d x

= 0 1 π { f ( x ) } 2 d x

= π 0 1 x 2 d x

= π 3 ( 1 3 0 3 )

= π 3

区分求積法を用いた場合

右端型の場合

0 1 S ( x ) d x

= 0 1 π x 2 d x

  • = lim n π n { f ( 1 ) + f ( 2 ) +
  • + f ( n 1 ) + f ( n ) }

  • = lim n π n { ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 +
  • + ( n 1 n ) 2 + ( n n ) 2 }

  • = lim n π n · 1 n 2 { 1 2 + 2 2 +
  • + ( n 1 ) 2 + n 2 }

= lim n π n · 1 n 2 · 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) については, k = 1 n k 2 の計算式を参照.

= lim n π 6 ( 1 + 1 n ) ( 2 + 1 n )

lim n より, 1 n = 1 = 0 のため, π 6 ( 1 + 0 ) ( 2 + 0 ) = π 3

= π 3

左端型の場合

0 1 S ( x ) d x

= 0 1 π x 2 d x

  • = lim n π n { ( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 +
  • + ( n 2 n ) 2 + ( n 1 n ) 2 }

  • = lim n π n · 1 n 2 { 0 2 + 1 2 +
  • + ( n 2 ) 2 + ( n 1 ) 2 }

= lim n π n · 1 n 2 · 1 6 ( n 1 ) n { 2 ( n 1 ) + 1 }

1 6 ( n 1 ) n { 2 ( n 1 ) + 1 } については, k = 1 n k 2 の計算式を参照.

= lim n π n · 1 n 2 · 1 6 ( n 1 ) n ( 2 n 1 )

= lim n π 6 ( 1 1 n ) ( 2 1 n )

lim n より, 1 n = 1 = 0 のため, π 6 ( 1 0 ) ( 2 0 ) = π 3

= π 3

これより,定積分の公式区分求積法のどちらの方法を用いても,円錐の体積は円柱の体積に 1 3 をかけたものであることがわかる.また,区分求積法の具体的な計算例についてはここを参照.

 

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最終更新日: 2015年10月1日

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