積分 xlogx

xlogxdx

logx logx=t  とおいて置換積分を行う.

x= e t dx dt = e t dx= e t dt

与式= e t t e t dt= t e 2t dt

t e 2t t e 2t の積で, t を微分すると1となる.   部分積分をするとよい.

f( t )=t g ( t )= e 2t とした部分積分を行う.

t e 2 t d t = t ( 1 2 e 2 t ) 1 · ( 1 2 e 2 t ) d t

= 1 2 t e 2 t 1 4 e 2 t + C

= 1 2 ( log x ) · x 2 1 4 x 2 + C

= 1 4 x 2 ( 2 log x 1 ) + C   C は積分定数)

■別解

xlogxdx= ( 1 2 x 2 ) logxdx

と考えて部分積分を行なう.

( 1 2 x 2 ) logxdx

= 1 2 x 2 logx 1 2 x 2 ( logx ) dx

= 1 2 x 2 logx 1 2 x 2 · 1 x dx

= 1 2 x 2 logx 1 2 xdx

= 1 2 x 2 logx 1 4 x 2 +C

= 1 4 x 2 ( 2logx1 )+C   C は積分定数)

 

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最終更新日 2023年10月4日