重積分の基本公式

• ${\displaystyle {\iint }_{D}kf\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle =k{\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$
• ${\displaystyle \underset{D}{{\displaystyle \iint }}\left\{f\left(x,y\right)d\pm g\left(x,y\right)\right\}dxdy}$ ${\displaystyle =\underset{D}{{\displaystyle \iint }}f\left(x,y\right)dxdy\pm \underset{D}{{\displaystyle \iint }}g\left(x,y\right)dxdy}$
• 領域${\displaystyle D}$を${\displaystyle D_1}$,${\displaystyle D_2}$に分割する場合

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle ={\iint }_{D1}f\left(x,y\right)dxdy+{\iint }_{D2}f\left(x,y\right)dxdy}$

• 領域${\displaystyle D}$上で，${\displaystyle f\left(x,y\right)\geqq g\left(x,y\right)}$ならば

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle \geqq {\iint }_{D}g\left(x,y\right)dxdy}$

${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy\leqq \left|{\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy\right|\leqq {\iint }_D\left|f\left(x,y\right)\right|dxdy}$
• ${\displaystyle K}$を長方形：${\displaystyle a\leqq x\leqq b,c\leqq y\leqq d}$とするとき

  ${\displaystyle {\iint }_{k}f\left(x,y\right)dxdy={\int }_c^d\left\{{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx\right\}dy}$

  または

  ${\displaystyle {\iint }_{k}f\left(x,y\right)dxdy={\int }_a^b\left\{{\int }_c^{d}f\left(x,y\right)dy\right\}dx}$

• ${\displaystyle K}$を3次元の直方体${\displaystyle a_1\leqq x\leqq b_1,a_2\leqq y\leqq b_2,a_3\leqq z\leqq b_3}$とするとき

  ${\displaystyle {\iiint }_{K}f\left(x,y,z\right)dxdydz}$${\displaystyle ={\int }_{a_3}^{b_3}dz{\int }_{a_2}^{b_2}dy{\int }_{a_1}^{b_1}f\left(x,y,z\right)dx}$

 

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最終更新日： 2023年8月1日