恒等式
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等式

恒等式とは,等式に含まれている文字に任意の文字を代入しても,その等式の両辺の値が存在する限りつねになりたつ等式のこと.

整式の等式の性質

● 性質1:

a x 2 +bx+c=0  が文字 x について恒等式     a=b=c=0   (係数=0)

恒等式であるので x=1,0,1 を代入しても等式は成り立ちます.よって,

{ ab+c=0 c=0 a+b+c=0

の連立方程式が得られます. これを解くと a=b=c=0  となります.

● 性質2:

a x 2 +bx+c= a x 2 + b x+ c  が文字 x について恒等式
                a= a ,b= b ,c= c   (同じ次数の係数が等しい)

a x 2 +bx+c= a x 2 + b x+ c  を右辺−左辺=0に式を変形する.すると,

( a a ) x 2 +( b b )x+( c c )=0

が得られる.性質1より,   a= a ,b= b ,c= c  が導かれる.

2次の整式について示したが,上の性質は n  次の整式でも成り立つ.

■ひとこと

恒等式の問題では,係数を求めなければならない場合がよくある.このような問題を解く手法として,

  1. 数値代入法:適当な数値を代入して,係数の連立方程式を作り解く.
               ( n 次の恒等式であれば n-1 個の数値を代入する必要がある. )

  2. 係数比較法:両辺の同じ次数の項の係数を比較する連立方程式を作り解く.

がある.

 

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初版:2004年7月9日,最終更新日: 2007年11月14日

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