級数の収束性(1)

級数の収束性(1)

a n >0 である正項級数 a n において 

lim n a n n =r  ・・・・・・(1)

が存在するとき

■証明

lim a n n =r が存在する場合,ある N を越えると,すなわち n>N では

rε< a n n <r+ε  ・・・・・・(2) ( ε は正の任意定数)

が成り立つ.

N を用いると

n=1 a n = n=1 N a n + n=N+1 a n  ・・・・・・(3)

と書きかえられる.

N はある自然数であるので

n=1 N a n =K

となる定数 K が存在する.

(2)より

( rε ) n < a n < ( r+ε ) n  ・・・・・・(4)

よって

n=N+1 ( rε ) n < n=N+1 a n < n=N+1 ( r+ε ) n

nN=m とおくと, n=N+1 のとき m=1 n のとき m

よって

m=1 ( rε ) m < n=N+1 a n < m=1 ( r+ε ) m

lim m ( rε ) 1 ( rε ) m 1( rε ) < n=N+1 a n < lim m ( r+ε ) 1 ( r+ε ) m 1( r+ε )  ・・・・・・(5)

となる.

 

0<r<1 のとき, ε は任意なので, 0<rε<r<r+ε<1 となる ε をとることができる.

よって(5)より

rε 1( rε ) < n=N+1 a n < r+ε 1( r+ε )

となり

n=N+1 a n =L  ・・・・・・(6)

となる定数 L が存在する

したがって(3)(5)(6)より

n=1 a n =K+L

 

1<r のとき, ε は任意なので 1<rε<r となる ε をとることができる

rε>1 のとき m ならば, ( rε ) m となるので

lim m ( rε ) 1 ( rε ) m 1( rε ) =

となり

n=N+1 a n =  ・・・・・・(7)

となる.

したがって(3)(5)(7)より

n=1 a n =

となり発散する.

 

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最終更新日: 2022年5月29日