行列式を用いた外積の計算

行列式を用いた外積の計算

a =( a x , a y , a z )

b =( b x , b y , b z )

i : x 軸の基本ベクトル

j : y 軸の基本ベクトル

k : z 軸の基本ベクトル

とする。 a × b の外積を以下のように書き換えて行列式を用いて表わす.

a × b =( a y b z a z b y , a z b x a x b z , a x b y a y b x )

基本ベクトル表示にすると

=( a y b z a z b y ) i +( a z b x a x b z ) j +( a x b y a y b x ) k

a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x 行列式を用いて表すと

=| a y a z b y b z | i +| a z a x b z b x | j +| a x a y b x b y | k

行列式の行または列の入れ替えの性質 | a z a x b z b x |=| a x a z b x b z | より

=| a y a z b y b z | i | a x a z b x b z | j +| a x a y b x b y | k

i , j , k を3次の行列式の1行の成分と考え、上式を3次の行列式の1行での余因子展開の式とみなすと

=| i j k a x a y a z b x b y b z |

となる.

すなわち

a × b =| i j k a x a y a z b x b y b z |

となる.

 

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最終更新日: 2022年9月8日