外積の計算則 分配

(a+b)×c= a×c+b×c

外積の分配法則が成り立つのを図を使い簡単に説明する.

A を通り c に平行な直線に点 O からおろした垂線の足を点 A とすると,平行四辺形 OAEC の面積=長方形 O A E C の面積となる.よって

OA = | a × c | | c |

(平行四辺形 OAEC の面積= | a × c | ,長方形 O A E C の面積= | c |OA より)

となる.同様にして

OB = | b × c | | c | OD = | ( a + b )× c | | c |  

となる.

また, O A O B O D c に垂直で, a × c b × c ( a + b )× c c に垂直である.よって, O A O B O D a × c b × c ( a + b ) × c は同一平面上にある.

さらに,外積の定義より, O A a × c O B b × c O D ( a + b ) × c は垂直な関係である.

以上より,下図を参照すると,平行四辺形 O A D B を点 O を中心として90°時計方向に回転し, | c | 倍したものが平行四辺形 OHIJ となる.

したがって,

( a + b )× c = a × c + b × c  

となる.

a × b + c = a × b + a × c について

a × b + c = b + c × a

= b + c × a

= b × a + c × a

= b × a c × a

= a × b + a × c

 

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>外積>> (a+b)×c= a×c+b×c

最終更新日 2023年2月20日