演習問題

位置ベクトル${\displaystyle {\overrightarrow{r_1}}_{}=(2,5,4)〔\text{m}〕}$ にある小物体に，一定の力ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{F_{}}=(-1,2,4)〔\text{N}〕}$ を加え続けたところ，小物体は位置${\displaystyle {\overrightarrow{r_2}}_{}=(-1,3,5)〔\text{m}〕}$

図が示すように，水平面に固定された台の粗い斜面の点 ${\displaystyle \text{O}}$ に質量 ${\displaystyle 5.00\text{kg}}$ の物体を静かに置いたところ，物体は滑り出し下端の点 ${\displaystyle \text{P}}$ に達した．点 ${\displaystyle \text{O}}$ から下した鉛直線と水平面との交点を ${\displaystyle \text{Q}}$ とすると， ${\displaystyle \text{OQ}}$ 間の距離は ${\displaystyle 3.00\text{m}}$ ， ${\displaystyle \text{PQ}}$ 間の距離は ${\displaystyle 4.00\text{m}}$ であった．物体には重力 ${\displaystyle \mathit{w}}$ と斜面からの垂直抗力 ${\displaystyle \mathit{n}}$ が作用するほか，物体が斜面を滑っている間，物体と斜面の間には動摩擦力 ${\displaystyle \mathit{f}}$ が作用し，その大きさは ${\displaystyle \mathrm{ }\left|\mathit{f}\right|=21.4\text{N}}$ である．また，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g=9.80{\text{m/s}}^{\text{2}}}$ とする．

図のように，水平であらい床面上にある質量 ${\displaystyle m[\text{kg}]}$ の荷物を水平から ${\displaystyle \theta }$ の方向に綱で引いた．綱の張力の大きさ ${\displaystyle F\text{[N]}}$ が ${\displaystyle F_0\text{[N]}}$ を超すと同時に荷物は滑り出した．荷物と床面との間の静止摩擦係数を ${\displaystyle \mu }$ ，動摩擦係数を ${\displaystyle {\mu }^{\prime }}$ ，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ とする．

図1

滑らかで水平な床の上にある小物体に，水平方向の力${\displaystyle F〔\text{N}〕}$ を加えた．この力の向きに ${\displaystyle x}$ 軸をとり，加える力 ${\displaystyle F〔\text{N}〕}$ を位置 ${\displaystyle x\left[\text{m}\right]}$ に応じて変えると，図1に示すような ${\displaystyle F-x}$ グラフが得られた．ここで，力は常に ${\displaystyle x}$ 軸に平行であるとものする．以下の問に答えよ．

図1

質量 ${\displaystyle 16\text{kg}}$ の物体が力を受けて ${\displaystyle x}$ 軸上を移動する．このとき，物体に作用する力の ${\displaystyle x}$ 成分 ${\displaystyle F_x}$ は，右図のように物体の位置 ${\displaystyle x}$ とともに変化する．物体は ${\displaystyle x=0}$ から ${\displaystyle x=9.0\text{m}}$ まで移動し，${\displaystyle x=0}$ から ${\displaystyle x=3.0\text{m}}$ までの間に作用する力は

${\displaystyle F_x=-\frac{{\left(x-3.0\right)}^2}{3}+3.0}$

滑らかで水平な床の上で，はじめ速さ ${\displaystyle \text{2}\text{.0}\text{m/s}}$ で運動していた質量 ${\displaystyle \text{2}\text{.0}\text{kg}}$ の小物体に，その進む向きと同じ向きに一定の力を加え続けて ${\displaystyle \text{4}\text{.0}\text{m}}$ 移動させたところ，物体の速度が ${\displaystyle \text{8}\text{.0}\text{m/s}}$ になった．物体に加えた一定の力の大きさ ${\displaystyle F\text{[N]}}$

図のように，質量 ${\displaystyle 2.0\text{kg}}$ の小物体が水平な粗い床面上を ${\displaystyle x}$ 軸の正の向きに運動している． ${\displaystyle x=0\text{m}}$ における小物体の速度は ${\displaystyle 10\text{m/s}}$ である．また， 床と小物体の間の 動摩擦係数は ${\displaystyle 0.20}$ であり，重力加速度の大きさは ${\displaystyle 10{\text{m/s}}^{\text{2}}}$ であるものとする．

質量${\displaystyle M}$の物体があり，図のようにばねでつながれている．物体を原点から点${\displaystyle \text{A}}$までゆっくりと動かしたとき，弾性力(Elastic Force)のした仕事を求めよ．ただし，ばね定数は${\displaystyle k}$，ばねの自然長は${\displaystyle l}$とし，物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする．