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単振り子 : 運動方程式 (equation of motion)

鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した軽い棒の先端に質量 m の質点を取り付けた単振り子について,点 O から引いた鉛直軸 OC と棒とのなす角を θ とする(反時計回りに回転する角の向きを正にとる).質点が円周に沿って運動するとこの角度は時々刻々変化するため, θ は時間の関数 θ(t) として表される.

棒の長さ(質点の回転半径)を L とすると,点 C からの質点の位置 P までの弧の長さは Lθ であり,円軌道に沿った質点の位置を表す.円周軌道に沿って回転運動する質点の速度は常に円の接線方向 (tangential direction) を向いており,速度の接線方向成分は

vt= ddt (Lθ) =L dθ dt     - - - (1)

と表される.したがって,質点の加速度の接線方向成分は

at= dvt dt = L d2θ dt2     - - - (2)

となる.一方,質点に作用する力は大きさ mg で鉛直下向きの重力と,棒から作用する動径方向 (radial direction) の力 S (張力の場合, S>0 とする)であり,棒からの力の向きは質点の運動方向に垂直なので,質点を回転運動させる力は重力の接線方向成分 Ft のみとなる.接線方向について,角 θ を増加させる向きを正にとると,接線方向の力 Ft は角 θ を用いて

Ft = mgsinθ     - - - (3)

となる.円の接線方向における質点の運動方程式は  mat= Ft  であり,式 (2),(3) を代入すると

mL d2θ dt2 = mgsinθ     - - - (4)

と表される.上式の両辺を mL で割って整理すると,

d2θ dt2 +gLsinθ =0     - - - (5)

が得られる.この式は角 θ についての2階の同次微分方程式であり,これを解くことにより単振り子の運動が求められる.その運動において角 θ が微小である(振れ幅が小さい)場合の近似解は容易に求めることができる


次に,動径方向 (radial direction) における質点の運動方程式を求める.単振り子の円周軌道上を速さ vt で回転運動している質点には,回転中心 O に向かう大きさ  mvt2 L  の向心力 (centripetal force)が作用している.この向心力は質点に作用する力の動径方向成分によるものであるので,

mvt2 L = Fr S     - - - (6)

が成り立つ. Fr =mgcosθ   および式 (1) を代入して整理すると,

mL ( dθ dt ) 2 = Smgcosθ     - - - (7)

が得られる.この式 (7) が動径方向の運動方程式を表す.

式 (7) を導出する他の考え方として,質点と共に回転する座標系を考える.その回転座標系において,見かけ上,質点には大きさ  mvt2 L  の 遠心力 (centrifugal force)が作用している.この回転座標系において質点は静止しているので,質点に作用する力の釣り合い(動径方向の力の釣り合い)の式は

mvt2 L + Fr S =0     - - - (8)

となる.この式を整理すると式 (7) が得られる.


単振り子の運動方程式の他の求め方:直交座標系回転運動の法則オイラー・ラグランジュ方程式


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