単振り子 : 周期の厳密解の導出 (derivation of excact solution of period)
図のような,半径
の円弧上を質量
の質点が運動する単振り子について,最下点 C を重力による位置エネルギーの基準にとったときの力学的エネルギー保存則
- - - (1)
を考える.ここで,
は最下点 C における質点の速さである.質点が最高点 Q (
) に達する場合,点 Q で運動エネルギーは 0 以上なので,式 (1) より
- - - (2)
が成り立つ.この場合,点 Q での運動エネルギーが 0 なら質点は点 Q で静止し,0 より大きければ一方向に回る回転運動をする.質点が最高点 Q に達しない場合
- - - (3)
が成り立ち,質点は
の範囲で往復運動をする.ここで,角
は
- - - (4)
を満たす.回転運動する場合は1回転にかかる時間を,往復運動する場合は1往復にかかる時間を,単振り子の周期とする.最高点 Q で静止する場合は周期を定義できない.
角速度
を用いて,速度の接線方向成分を
と表し,最下点 C での角速度の大きさを
とすると
である.これらの表記で式 (1) を整理すると
- - - (5)
となる.したがって,
- - - (6)
を得る.ここで
を用いた.
のとき,式 (6) の右辺のルート中の式は
となり,
であれば,最高点 Q で角速度
なので,式 (2) の状況(最高点 Q で静止,もしくは回転運動)に対応する.
であれば式 (3) の状況(往復運動)に対応する.式 (6) を変数分離すると形式的に
- - - (7)
と表せる.式 (7) について,
(往復運動)
,
(回転運動)
,
(最高点で静止)
の3つの場合に分けて考え,往復運動・回転運動の場合はその周期を導出する.
◆
(往復運動)の場合
この場合,角速度
となるような角
が存在し,式 (6) より
- - - (8)
を満たす(式 (4) に対応している).時刻
において
,
とすると,
から質点が最初に角
に達するまでの時間が周期
の4分の1である.この間は
であるので,範囲
において,式 (7) を積分すると
- - - (9)
が得られる.ここで,
とおくと
なので,置換積分を行うと式 (9) は
- - - (10)
となり,第1種の楕円積分の標準形で表される.さらに,
とおくと
より
- - - (11)
となる.式 (10) もしくは式 (11) において,角
に達するまでの時間(周期
の4分の1)を考えると,式 (8) より
,および
より
- - - (12)
が得られる.第1種の完全楕円積分
- - - (13)
の表記を用いると,周期
は
--- (14)
と表される.
が非常に小さい微小振動(
)の場合,式 (13) において
と近似できるので,第1種の完全楕円積分の値は
となる.したがって,周期は
となり,近似解における周期と一致する.
は小さいが
において無視できない場合,展開式
および,ウォリスの公式
を用いて,
と展開し,最初の数項をとればよい.したがって,式 (8) を用いて
--- (15)
と表すことができる.
◆
(回転運動)の場合
この場合,式 (6) より角速度
なので,一方向に回転する.時刻
において
,
とすると,常に
となる.往復運動の場合と同様に式 (7) を積分する際に,
とおくと
- - - (16)
が得られる.
から
までにかかる時間が周期
の半分なので,式 (16) において
から
まで,つまり,
から
まで積分すると
- - - (17)
となる.したがって,第1種の完全楕円積分の式 (13) の表記を用いると,周期は
- - - (18)
と表される.
が非常に大きく(
),式 (17) において
と近似できる場合,周期は
と近似できる(一定の角速度
で回転する等速円運動の周期と同じ).
は小さいが
において無視できない場合,
とおいて,式 (15) と同様に展開すると
--- (19)
と表すことができる.
◆
(最高点で静止)の場合
時刻
において
,
とし,式 (7) に
を代入して積分すると
となり,
とおいて置換積分を行うと,
より
が得られる.さらに,
を用いて
--- (20)
が得られる.上式が
から
までにかかる時間を表している.ここで,
の極限を考えると,
より
となるので,質点が最高点 Q (
) に達するには無限の時間がかかることになる.さらに,式 (20) から
,
と表せること,および
を用いると
より
--- (21)
が得られる.したがって,時刻
における角度は
--- (22)
で与えられる.また,その逆関数を考えると,式 (20) は
--- (23)
と表すこともできる.
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