単振り子 : 力学的エネルギー保存則 (conservation of mechanical energy)
半径
の円弧上を質量
の質点が往復運動する単振り子について,円の接線方向における質点の運動方程式は
- - - (1)
と表される(導出).ここで,
は速度の接線方向成分であり,式 (1) の両辺に
をかけて整理すると
- - - (2)
となる.式 (2) を時刻
から
まで積分すると
となり,置換積分を行うと
⇒
⇒
- - - (3)
が得られる.重力による位置エネルギーの基準を点 O の高さにとると,式 (3) から力学的エネルギー保存則
一定
- - - (4)
が導かれる.第1項目が運動エネルギー
,第2項目が重力による位置エネルギー
である.時刻
で質点は最下点 C に位置(
)し,そのときの速度を
とする.重力による位置エネルギーの基準を最下点 C にとりなおすと,式 (4) より
- - - (5)
が得られる.
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