角速度ベクトルの導出 (derivation of angular velocity vector)

物体が回転中心 C のまわりで回転運動している場合を考え，物体の位置 r ，速度 v ，加速度 a ，回転中心 C の位置 rC とし，C から物体へのベクトルを R ≡ r − rC とする． R= |R| ， v= |v| を用いると，角速度の大きさは ω=v/R ，回転軸方向の単位ベクトルは

eω = R × v | R × v | = R × v Rv

である（ R ⊥ v ）ので，物体の角速度ベクトル ω は

ω = ω eω = vR R × v Rv = R × v R2 = RR × vR

と表すことができる．また，

v × a | v × a | = R × v | R × v | = eω ，および R= v3 | v × a | （※）

であるので，物体の角速度ベクトル ω は

ω = ω eω = vR v × a | v × a | = | v × a | v2 v × a | v × a | = v × a v2 = vv × av

と表すこともできる．

ちなみに，向心加速度は

an = ( v × a ) × v v2

と表される（※）ので，C から物体へのベクトル R は

R = v × ( v × a ) | v × ( v × a ) | R = v × ( v × a ) v | v × a | v3 | v × a | = ( v | v × a | ) 2 v × ( v × a )

で与えられる．