運動軌道における曲率半径 (radius of curvature on motion trajectory)
3次元直交座標系において,運動している質量
の質点の位置を時刻
の関数として
とすると,質点の速度は
,
質点の加速度は
と表される.
速度
と加速度
が平行でない場合,運動軌道上の質点の位置
における曲率円
は,
と
で張られる平面(接触平面)で定義され,その平面の法線ベクトル(従法線ベクトル)
は
である.この法線ベクトルが
軸に平行となるように座標変換すると,曲率円
は
平面に平行な面上の円
に変換される.この1次変換の表現行列を
とする.
を球面座標
を用いて成分表示すると,
であるので,上記の1次変換は
軸周りに
だけ回転した後,
軸周りに
だけ回転させることに対応する.ここで,
,
,
,
である.3次元空間での
軸周りの
回転を表す回転行列をそれぞれ
とすると
と表される.
により
系から変換された座標系を
系とすると,速度,加速度はそれぞれ
,
と変換され,ともに
成分はゼロである(行ベクトルで表記しているので,行列
を転置して右からかけている).よって,
と
との外積は
成分のみもつ:
.
また,回転操作により
の大きさとその間の角度は変化しないので
,
,
である.パラメータ表示された曲線の曲率半径 の定義により,
面上の曲率円
の半径
は
と表される(回転操作によって曲率半径
は変化しない).
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