合成関数の偏微分

■問題

z= x 2 + y 2 ,x=tsint,y=1cost のとき, dz dt を求めよ.

■答

=2t 1cost

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する.

■解説

x α の微分の公式 sinx の微分の公式より

dx dt =1cost

cosx の微分の公式より

dy dt =sint

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分すると

z x = z x =2x

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分すると

z y = z y =2y

以上から

合成関数の偏微分の公式より

dz dt = z x dx dt + z y dy dt

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

=2x( 1cost )+2y( sint )

=2x( 1cost )+2ysint

=2 tsint 1cost +2 1cost sint

=2 1cost tsint+sint

=2t 1cost

 

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学生スタッフ作成

2023年8月28日