波動方程式の変換

■問題

y=f( x,t ) において,1次元の波動方程式

2 y t 2 = c 2 2 y x 2

ξ=xct η=x+ct なる変換を行うと

2 y ηξ =0

となることを示せ.

■ヒント

最初に ξ = x c t η = x + c t より, x t ξ η で表す.

y ξ で偏微分した後,更に η で偏微分する. このとき,合成関数の偏導関数の公式を用いる.

■解説

ξ = x c t  ・・・・・・(1)

η = x + c t  ・・・・・・(2)

とおく.

(1) を変形すると

x=ξ+ct

これを (2) に代入して整理すると

η = ξ + c t + c t

t = η ξ 2 c  ・・・・・・(3)

となる.更に,これを (1) に代入し整理すると

ξ = x c · η ξ 2 c

x = ξ + η 2  ・・・・・・(4)

となる.

(4)より x ξ で偏微分すると

x ξ = ξ ( ξ + η 2 ) = ξ ( 1 2 ξ + η 2 ) = 1 2  ・・・・・・(5)

次に,(3)より t ξ で偏微分すると

t ξ = ξ ( ηξ 2c ) = ξ ( η 2c ξ 2c )= 1 2c  ・・・・・・(6)

同様の手順で x t η で偏微分をすると

x η = η ( ξ + η 2 ) = η ( ξ 2 + 1 2 η ) = 1 2  ・・・・・・(7)

t η = η ( ηξ 2c ) = η ( η 2c ξ 2c )= 1 2c  ・・・・・・(8)

(5),(6)より y ξ で偏微分すると(合成関数の偏導関数の公式を参照)

y ξ = f x x ξ + f t t ξ

= f x 1 2 + f t ( 1 2c )

= 1 2 f x 1 2 f t  ・・・・・・(9)

これを更に η で偏微分すると

2 y ηξ = η ( y ξ )

(9)を代入する.

= η ( 1 2 f x 1 2c f t )

= η ( 1 2 f x ) η ( 1 2c f t )

= 1 2 η f x 1 2c η f t  ・・・・・・(10)

ここで, f x f t は,合成関数 y=f( x,t ) x t でそれぞれ偏微分したものであるから,どちらも合成関数である.

よって, η f x , η f t は,どちらも合成関数の偏微分となるので

η f x = x f x · x η + t f x · t η

= f x x x η + f x t t η

= f x x · ( 1 2 ) + f x t · ( 1 2 c )

= 1 2 f x x + 1 2 c f x t  ・・・・・・(11)

η f t = x f t · x η + t f t · t η

= f t x x η + f t t t η

= f t x · ( 1 2 ) + f t t · ( 1 2 c )

= 1 2 f t x + 1 2 c f t t  ・・・・・・(12)

となる.(10)に(11),(12)を代入する.

2 y ηξ = 1 2 1 2 ( f xx + 1 c f xt ) 1 2c 1 2 ( f tx + 1 c f tt )

= 1 4 f x x + 1 4 c f x t 1 4 c f t x 1 4 c 2 f t t

= 1 4 f x x + 1 4 c f x t 1 4 c f x t 1 4 c 2 f t t

= 1 4 f x x 1 4 c 2 f t t

= 1 4 2 y x 2 1 4 c 2 2 y t 2

これに, 2 y t 2 = c 2 2 y x 2 を代入すると

2 y η ξ = 1 4 2 y x 2 1 4 c 2 · c 2 2 y x 2 = 1 4 2 y x 2 1 4 2 y x 2 = 0

となりる.

以上より

2 y t 2 = c 2 2 y x 2   

ξ=xct η=x+ct なる変換を行うと

2 y ηξ =0    

となる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>波動方程式の変換

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月5日