べき級数に展開する問題

べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開マクローリン展開)をせよ.

1 1+ x 2

■ヒント

f(x)= 1 1+ x 2 とおいて, f ( x ) f ( x ) f ( x ) を計算するのは大変である.よって

1 1 x のマクローリン展開の公式

1 1x =1+x+ x 2 + x 3 + x 4 +

を用いる.

■答

1 1+ x 2 = 1 1( x 2 )

1 1 x のマクローリン展開の公式 x x 2 に置き換える

1 1 + x 2 = 1 + ( x 2 ) + ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 3 +

=1 x 2 + x 4 x 6 +

■参考

1 1x =1+x+ x 2 + x 3 + x 4 +

x= t 2 を代入する

1 1 ( t 2 ) = 1 + ( t 2 ) + ( t 2 ) 2 + ( t 2 ) 3 +

=1 t 2 + t 4 t 6 +

t x に書き換えても等式は成り立つ.

x x 2 に置き換えることは上記一連の手続きを短縮したものである.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月29日