べき級数に展開する

べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開マクローリン展開)をせよ.

1 2+x

■答

f( x )= 1 2+x = ( 2+x ) 1   とおく.       f( 0 )= 2 1 = 1 2  

f ( x )=( 1 ) ( 2+x ) 2 ( 2+x ) =( 1 ) ( 2+x ) 2 1 =( 1 ) ( 2+x ) 2    f ' ( 0 )=( 1 ) 2 2  

f ( x )=( 1 )( 2 ) ( 2+x ) 3 ( 2+x ) =( 2! ) ( 2+x ) 3    f '' ( 0 )=( 2! ) 2 3  

f ( x )=( 2! )( 3 ) ( 2+x ) 4 ( 2+x ) =( 3! ) ( 2+x ) 4     f ''' ( 0 )=( 3! ) 2 4  

f ( 4 ) ( x )=( 3! )( 4 ) ( 2+x ) 5 ( 2+x ) =( 4! ) ( 2+x ) 5     f ( 4 ) ( 0 )=( 4! ) 2 5  

f ( 5 ) ( x )=( 4! )( 5 ) ( 2+x ) 6 ( 2+x ) =( 5! ) ( 2+x ) 6     f ( 5 ) ( 0 )=( 5! ) 2 6  

したがって, マクローリン展開の公式  

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して

1 2+x

= 1 2 +(1) 2 2 x+ (2!) 2 3 2! x 2 + (3!) 2 4 3! x 3 + (4!) 2 5 4! x 4 + (5!) 2 6 5! x 5 +

= 1 2 2 2 x+ 2 3 x 2 2 4 x 3 + 2 5 x 4 2 6 x 5 +

= 1 2 1 4 x+ 1 8 x 2 1 16 x 3 + 1 32 x 4 1 64 x 5 +

■別解

1 2+x = 1 2( 1+ 1 2 x )

          = 1 2 1 1+ 1 2 x

ここで

1 1+x =1x+ x 2 x 3 + x 4 x 5 +

の式の x 1 2 x に置き換える

1 2+x = 1 2 { 1( 1 2 x )+ ( 1 2 x ) 2 ( 1 2 x ) 3 + ( 1 2 x ) 4 ( 1 2 x ) 5 + }

= 1 2 1 4 x+ 1 8 x 2 1 16 x 3 + 1 32 x 4 1 64 x 5 +

 

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最終更新日: 2022年6月5日