積分の公式を使った問題

■問題

次の問題を積分せよ。

∫ e 3x dx

■方針

基本となる関数の積分の 指数／対数の積分 より

∫ e x dx = e x + C

( C は任意の整数)

の公式を用いる。

■答

∫ e 3x dx
3x=t 　とおいて、置換積分する。	（置換積分の詳細は置換積分法を参照）
x= 1 3 t→ dx dt = 1 3 　∴ dx= 1 3 dt
（与式）　 =∫ e t · 1 3 dt
= 1 3 ∫ e t dt	(不定積分の基本式の1つ目の式を参照）
= 1 3 e t +C	（公式にあてはめる）
= 1 3 e 3x +C	（最初に　 3x=t 　と置換したので、元に戻す）

■確認問題

求まった答え 　　 1 3 e 3x +C 　　を微分し、積分前の式 　　 e 3x 　　に戻ることを確認しなさい。

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初版：2007年10月17日，最終更新日： 2007年10月17日