不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-2x}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

指数/対数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{x}dx=e^x+C}}$　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

置換積分を用いる

${\displaystyle -2x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）． 　　

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2}$ 　→　${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ 　　

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int e^t}\times \left(-\frac{1}{2}dt\right)}$ 　　

(${\displaystyle -2x=t}$ ，${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ を代入)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle \int e^{t}dt}}$ 　　

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\times e^t+C}$　　（$C$は積分定数）

( 指数/対数の積分 を参照)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$

(${\displaystyle -2x=t}$ を元に戻す)

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle e^{-2x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日