部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

x 3 e x dx

■答

x 3 e x 3 x 2 e x +6x e x 6 e x +C    Cは積分定数)

■ヒント

部分積分法

f( x ) g ( x ) dx =f( x )g( x ) f ( x ) g( x )dx

を用いる.

■解説

( e x ) = e x  より

f( x )= x 3 g( x )= e x  として部分積分を行う.

x 3 ( e x ) dx  (これは公式の左辺 f( x ) g ( x )dxに対応している )

= x 3 e x ( x 3 ) e x dx  (これは公式の右辺 f( x )g( x ) f ( x )g( x )dx に対応している )

= x 3 e x 3 x 2 e x dx

= x 3 e x 3 x 2 ( e x ) dx

( 次は x 2 ( e x ) dx の部分積分を同様にして行う)

= x 3 e x 3{ x 2 e x ( x 2 ) e x dx }

= x 3 e x 3 x 2 e x +3 2x e x dx

= x 3 e x 3 x 2 e x +6 x ( e x ) dx

(次は x ( e x ) dx の部分積分を同様にして行う)

= x 3 e x 3 x 2 e x +6{ x e x ( x ) e x dx }

= x 3 e x 3 x 2 e x +6x e x 6 e x dx

= x 3 e x 3 x 2 e x +6x e x 6 e x +C

 

■確認問題

求まった答え x 3 e x 3 x 2 e x +6x e x 6 e x +C を微分し,積分前の式 x 3 e x に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月23日