部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

2log( 2x+1 )dx  

■答

( 2x+1 )log( 2x+1 )2x+C    Cは積分定数)

■ヒント

部分積分法

f ( x )g( x )dx =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx  

を用いる.

■解説

( 2x+1 ) =2  より

f( x )=2x+1 g( x )=log( 2x+1 ) として部分積分を行う.

2log( 2x+1 )dx  

= ( 2x+1 ) log( 2x+1 )dx  ( この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応する)

=( 2x+1 )log( 2x+1 ) ( 2x+1 ) { log( 2x+1 ) } dx  

(この式は公式の右辺の f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応する)

=( 2x+1 )log( 2x+1 ) ( 2x+1 ) 2 ( 2x+1 ) dx  

(  log( 2x+1 )  の微分はこの微分の計算が参考になる)

=( 2x+1 )log( 2x+1 )2 dx  

=( 2x+1 )log( 2x+1 )2x+C  

 

■別解

与式 = ( 2x ) log( 2x+1 )dx  

= 2xlog( 2x+1 ) 2x { log( 2x+1 ) } dx  

=2xlog( 2x+1 ) 2x 2 2x+1 dx  

=2xlog( 2x+1 ) 4x 2x+1 dx  

ここで

4x 2x+1 dx = ( 2 2 2x+1 )dx  

=2x2 1 2 log( 2x+1 )  

=2xlog( 2x+1 )  

となる.よって

=2xlog( 2x+1 ){ 2xlog( 2x+1 ) } +C  

=( 2x+1 )log( 2x+1 )2x+C  

 

■確認問題

求まった答え ( 2x+1 )log( 2x+1 )2x+C を微分し,積分前の式 2log( 2x+1 ) に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月23日