部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

x 2 +5 dx  

■答

x x 2 +5 x 2 +5 dx+5log| x+ x 2 +5 |    Cは積分定数)

■ヒント

部分積分法

f ( x )g( x )dx =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx  

を用いる.

■解説

x =1 より

f( x )=x g( x )= x 2 +5

として部分積分を行う.

x 2 +5 dx  

= ( x ) x 2 +5 dx  (この式は公式の右辺の f ( x )g( x )dxに対応する)

=x x 2 +5 x { ( x 2 +5 ) 1 2 } dx  

(この式は公式の左辺 =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応する)

=x x 2 +5 x 1 2 2x ( x 2 +5 ) 1 2 dx  

=x x 2 +5 x 2 x 2 +5 dx  

=x x 2 +5 x 2 +55 x 2 +5 dx  

55=0 なので,式の値は変らない)

=x x 2 +5 ( x 2 +5 x 2 +5 5 x 2 +5 )dx  

=x x 2 +5 ( x 2 +5 5 x 2 +5 )dx  

=x x 2 +5 x 2 +5 dx+ 5 x 2 +5 dx  

=x x 2 +5 x 2 +5 dx +5 1 x 2 +5 dx  

=x x 2 +5 x 2 +5 dx+5log| x+ x 2 +5 |  

1 x 2 +5 dx =log| x+ x 2 +5 | の計算過程は, 積分の公式を使った問題 1 x 2 +5 dx  を参照 )

ここで,右辺の式の中に左辺の式が含まれている.よって,左辺の式を I  として計算を進める.

I= x 2 +5 dx とおく

I=x x 2 +5 I+5log| x+ x 2 +5 |  

2I=x x 2 +5 +5log| x+ x 2 +5 |  

I= 1 2 ( x x 2 +5 +5log| x+ x 2 +5 | )  

よって,積分定数 Cを加えて

x 2 +5 dx = 1 2 ( x x 2 +5 +5log| x+ x 2 +5 | )+C  

 

■確認問題

求まった答え 1 2 ( x x 2 +5 +5log| x+ x 2 +5 | )+C を微分し,積分前の式  x 2 +5  に戻ることを確認しなさい.


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最終更新日: 2023年11月23日